G - Palindrome Construction Editorial
by 
sotanishy
グラフの問題としての表現
まず，計算量を意識せずに解法を考えます．
\(N\) 頂点のグラフを考えます． \(S_i=S_j\) となる必要があるとき頂点 \(i,j\) 間に 青 の辺を， \(S_i\neq S_j\) となる必要があるとき頂点 \(i,j\) 間に 赤 の辺を張ります．
まず，各 \(i\) について， \((S_{i-A_i},S_{i-A_i+1},\dots,S_{i+A_i})\) が回文になっているという条件から，青の辺 \((i-A_i, i+A_i), (i-A_i+1,i+A_i-1), \dots, (i-1,i+1)\) を張ります．
次に，各 \(i\) について， \(2\leq i-A_i,i+A_i\leq N-1\) ならば， \((S_{i-A_i-1},S_{i-A_i+1},\dots,S_{i+A_i+1})\) が回文でないという条件から \(S_{i-A_i-1}\neq S_{i+A_i+1}\) が必要です．よって，赤の辺 \((i-A_i-1,i+A_i+1)\) を張ります．
青の辺でつながった連結成分に含まれる頂点はすべて同じ値を取る必要があります．そこで，青の辺でつながった連結成分を縮約します．そして，赤の辺の両端の頂点が異なる値を取るように，それぞれの連結成分に値を割り当てればよいです．
縮約後，赤の辺からなる自己ループが存在すれば，連結成分への値の割り当ては不可能であり，条件を満たす \(S\) は存在しません．
赤の辺からなる自己ループが存在しない場合，番号の小さい頂点を含む連結成分から順番に見ていって，赤の辺で隣接している連結成分でまだ使用されていない値のうちできるだけ小さいものを貪欲に割り当てていけばよいです．
以上の解法の問題点は，青の辺が最大で \(O(N^2)\) 本張られるという点にあります．そこで，青の辺に関する連結性を保ったまま，張る必要のある青の辺の本数を減らす必要があります．
Manacher のアルゴリズムによる高速化
Manacher のアルゴリズムを応用することで，青の辺の本数を \(O(N)\) 本に減らすことができます．Manacher のアルゴリズムは，与えられた文字列の各 index を中心とした極大な回文部分文字列の長さを \(O(N)\) 時間で求めるアルゴリズムです．
Manacher のアルゴリズムのアイデアは，「すでに計算したものを利用して，調べるまでもなく回文になるとわかっている部分の計算を省略する」というものです．アルゴリズムの詳細な説明は以下の文献に譲ります．
Manacher のアルゴリズムを応用することで，条件を満たす \(S\) が存在するとき，以下の疑似コードにより青の辺を正しく張ることができます．
i = j = 0
while i < N:
while j < A[i] + 1:
unite(i - j, i + j)
j += 1
k = 1
while i - k >= 0 and k + A[i - k] + 1 < j:
k += 1
i += k
j -= k
ここで， \(A\) の添字や頂点の番号は 0-indexed であることに注意してください．また，関数 unite(u, v) は，頂点 \(u,v\) 間に青の辺を張る処理です．
このアルゴリズムの時間計算量を解析します．一見，二重ループなので \(O(N^2)\) に見えますが，実は \(O(N)\) になっていることを示します．
まず，3行目の while ループ while j < A[i] + 1 が実行される回数を解析します．\(i+j\) の値に注目すると，
- 10行目と11行目をまとめて考えると，ここで \(i+j\) は不変
- \(i+j\) が変化するのは5行目のみで，実行されるたびに \(1\) 増える
- 3行目の while ループの条件式から， \(i+j \leq i+A[i] \leq i+(N-i-1) < N\)
が成り立ちます．これらより，3行目の while ループはたかだか \(N\) 回程度実行されます．
次に，8行目の while ループ while i - k >= 0 and k + A[i - k] + 1 < j が実行される回数を解析します． \(i\) の値に注目すると，
- \(k\) は，8行目の while ループがそのステップで実行された回数
- \(i\) は \(k\) の総和だから，アルゴリズム全体で8行目の while ループが実行された回数
- 2行目の while ループの条件式から， \(i < N\)
が成り立ちます．これらより， 8行目の while ループはたかだか \(N\) 回程度実行されます．
以上より，このアルゴリズムが \(O(N)\) 時間で動作することが確認できました．
以上のアルゴリズムは，「条件を満たす \(S\) が存在するとき」という条件付きで動作します．よって，得られた \(S\) が実際に条件を満たすことの確認が必要です．これは，再び Manacher のアルゴリズムにより \(O(N)\) 時間で確認できます．
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