Ex - Simple Path Counting Problem Editorial /

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配点 : 650 点

問題文

N 行 M 列のマス目があります。上から i 行目、左から j 列目のマスを (i,j) と呼ぶこととします。

長さ K の整数列 A=(A_1,A_2,\dots,A_K) と長さ L の整数列 B=(B_1,B_2,\dots,B_L) が与えられます。

1 \le i \le K,1 \le j \le L を満たす全ての整数の組 (i,j) に対して以下の問題を解き、その答えの総和を 998244353 で割ったあまりを求めてください。

  • はじめ (1,A_i) に駒が置かれている。以下の操作を N-1 回繰り返して駒を (N,B_j) に移動する方法の個数を求めよ。
    • 今駒が置かれているマスを (p,q) とする。(p+1,q-1),(p+1,q),(p+1,q+1) のいずれかに駒を移動する。ただし、マス目の外に出てはならない。

制約

  • 1 \le N \le 10^9
  • 1 \le M,K,L \le 10^5
  • 1 \le A_i,B_j \le M

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M K L
A_1 A_2 \dots A_K
B_1 B_2 \dots B_L

出力

答えを出力せよ。

入力例 1

3 4 1 2
1
1 2

出力例 1

4

(i,j)=(1,1) のとき、駒の移動方法は以下の 2 通りです。

  • (1,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,1)
  • (1,1) \rightarrow (2,2) \rightarrow (3,1)

(i,j)=(1,2) のとき、駒の移動方法は以下の 2 通りです。

  • (1,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)
  • (1,1) \rightarrow (2,2) \rightarrow (3,2)

よって、答えは 2 + 2 =4 です。

入力例 2

5 8 4 5
3 1 4 1
2 7 1 8 2

出力例 2

137

入力例 3

883671387 87719 10 12
86879 64174 47274 41688 17713 50897 53989 7210 30894 5714
60358 28835 48036 48450 67149 36558 35929 69025 77539 19195 60762 60721

出力例 3

941873621

Score : 650 points

Problem Statement

We have a grid with N rows and M columns. We denote by (i,j) the cell in the i-th row from the top and j-th column from the left.

You are given integer sequences A=(A_1,A_2,\dots,A_K) and B=(B_1,B_2,\dots,B_L) of lengths K and L, respectively.

Find the sum, modulo 998244353, of the answers to the following question over all integer pairs (i,j) such that 1 \le i \le K and 1 \le j \le L.

  • A piece is initially placed at (1,A_i). How many paths are there to take it to (N,B_j) by repeating the following move (N-1) times?
    • Let (p,q) be the piece's current cell. Move it to (p+1,q-1),(p+1,q), or (p+1,q+1), without moving it outside the grid.

Constraints

  • 1 \le N \le 10^9
  • 1 \le M,K,L \le 10^5
  • 1 \le A_i,B_j \le M

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N M K L
A_1 A_2 \dots A_K
B_1 B_2 \dots B_L

Output

Print the answer.

Sample Input 1

3 4 1 2
1
1 2

Sample Output 1

4

For (i,j)=(1,1), the following two paths are possible:

  • (1,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,1)
  • (1,1) \rightarrow (2,2) \rightarrow (3,1)

For (i,j)=(1,2), the following two paths are possible:

  • (1,1) \rightarrow (2,1) \rightarrow (3,2)
  • (1,1) \rightarrow (2,2) \rightarrow (3,2)

Thus, the answer is 2 + 2 =4.

Sample Input 2

5 8 4 5
3 1 4 1
2 7 1 8 2

Sample Output 2

137

Sample Input 3

883671387 87719 10 12
86879 64174 47274 41688 17713 50897 53989 7210 30894 5714
60358 28835 48036 48450 67149 36558 35929 69025 77539 19195 60762 60721

Sample Output 3

941873621