Ex - Ball Collector Editorial /

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配点 : 625 点

問題文

N 頂点の木があります。i(1 \le i \le N-1) 本目の辺は、頂点 U_i と V_i を結ぶ無向辺です。頂点 i(1 \le i \le N) には、A_i が書かれたボールと B_i が書かれたボールが 1 個ずつあります。

v = 2,3,\dots,N に対して、以下の問題を解いてください。(各問題は独立です。)

  • 頂点 1 から頂点 v まで最短経路で移動します。このとき、通った各頂点(頂点 1,v も含む)において、ボールを 1 個ずつ選んで取ります。最終的に持っているボールに書かれている整数の種類数の最大値を求めてください。

制約

  • 2 \le N \le 2 \times 10^5
  • 1 \le A_i,B_i \le N
  • 与えられるグラフは木である。
  • 入力は全て整数である。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
A_1 B_1
A_2 B_2
\vdots
A_N B_N
U_1 V_1
U_2 V_2
\vdots
U_{N-1} V_{N-1}

出力

v=2,3,\dots,N に対して、答えを空白区切りで出力せよ。

入力例 1

4
1 2
2 3
3 1
1 2
1 2
2 3
3 4

出力例 1

2 3 3

例えば、v=4 のときは通る頂点は 1,2,3,4 であり、それぞれ A_1,B_2,B_3,B_4(=1,3,1,2) が書かれているボールを選ぶと種類数が 3 となり、これが最大となります。

入力例 2

10
2 5
2 2
8 8
4 3
6 10
8 1
9 10
1 7
9 3
5 10
9 3
1 9
3 6
4 1
3 8
10 9
5 4
7 2
9 7

出力例 2

4 3 2 3 4 3 4 2 3

Score : 625 points

Problem Statement

We have a tree with N vertices. The i-th (1 \le i \le N-1) edge is an undirected edge between vertices U_i and V_i. Vertex i (1 \le i \le N) has a ball with A_i written on it and another with B_i.

For each v = 2,3,\dots,N, answer the following question. (Each query is independent.)

  • Consider traveling from vertex 1 to vertex v on the shortest path. Every time you visit a vertex (including vertices 1 and v), you pick up one ball placed there. Find the maximum number of distinct integers written on the picked-up balls.

Constraints

  • 2 \le N \le 2 \times 10^5
  • 1 \le A_i,B_i \le N
  • The given graph is a tree.
  • All values in the input are integers.

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

N
A_1 B_1
A_2 B_2
\vdots
A_N B_N
U_1 V_1
U_2 V_2
\vdots
U_{N-1} V_{N-1}

Output

Print the answers for v=2,3,\dots,N, separated by spaces.

Sample Input 1

4
1 2
2 3
3 1
1 2
1 2
2 3
3 4

Sample Output 1

2 3 3

For example, when v=4, you visit vertices 1,2,3, and 4. By choosing balls with A_1,B_2,B_3,B_4(=1,3,1,2) written on them, the number of distinct integers on the balls is 3, which is the maximum.

Sample Input 2

10
2 5
2 2
8 8
4 3
6 10
8 1
9 10
1 7
9 3
5 10
9 3
1 9
3 6
4 1
3 8
10 9
5 4
7 2
9 7

Sample Output 2

4 3 2 3 4 3 4 2 3