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配点 : 600 点
問題文
長さ N の数列 A=(A_0,A_1,\ldots,A_{N-1}) と B=(B_0,B_1,\ldots,B_{N-1}) が与えられます。
また、高橋君は数列 A に対して、次の操作を好きな回数 ( 0 回でもよい) 行う事ができます。
- A を 1 つ左にシフトする、すなわち、A を、A'_i=A_{(i+1)\% N} で定義される A' で置き換える。ただし、x\% N で、x を N で割った余りを表す。
高橋君の目的は \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i) を最大化することです。ただし、x|y で x と y のビット毎の論理和(bitwise OR)を表します。
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i) の値としてあり得る最大の値を求めてください。
ビット毎の論理和(bitwise OR)とは
1 ビットの数字 (0 または 1) の組に対して下の表で定義される演算を論理和（またはOR演算）といいます。ビット毎に論理和を適用する演算をビット毎の論理和（bitwise OR）といいます。
| x | y | x|y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
論理和ではビット x, y の少なくとも一方が 1 の場合に結果が 1 となります。 逆に言うと、共に 0 の場合のみ結果が 0 となります。
具体例
0110 | 0101 = 0111
制約
- 2 \leq N \leq 5\times 10^5
- 0\leq A_i,B_i \leq 31
- 入力はすべて整数
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N
A_0 A_1 \ldots A_{N-1}
B_0 B_1 \ldots B_{N-1}
出力
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i) の値としてあり得る最大の値を出力せよ。
入力例 1
3 0 1 3 0 2 3
出力例 1
8
高橋君が一度も操作を行わなかった時、A は (0,1,3) のままであり、\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(0|0)+(1|2)+(3|3)=0+3+3=6,
高橋君が 1 回操作を行った時、A=(1,3,0) となり、\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(1|0)+(3|2)+(0|3)=1+3+3=7,
高橋君が 2 回操作を行った時、A=(3,0,1) となり、\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(3|0)+(0|2)+(1|3)=3+2+3=8
となります。3 回以上操作を行った時、 A は上記のいずれかの形になるため、\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i) の最大値は 8 であり、8 を出力します。
入力例 2
5 1 6 1 4 3 0 6 4 0 1
出力例 2
23
最大となるのは高橋君が 3 回操作を行った時であり、この時 A=(4,3,1,6,1) となり、
\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(4|0)+(3|6)+(1|4)+(6|0)+(1|1)=4+7+5+6+1=23 となります。
Score : 600 points
Problem Statement
There are length-N sequences A=(A_0,A_1,\ldots,A_{N-1}) and B=(B_0,B_1,\ldots,B_{N-1}).
Takahashi may perform the following operation on A any number of times (possibly zero):
- apply a left cyclic shift to the sequence A. In other words, replace A with A' defined by A'_i=A_{(i+1)\% N}, where x\% N denotes the remainder when x is divided by N.
Takahashi's objective is to maximize \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i), where x|y denotes the bitwise logical sum (bitwise OR) of x and y.
Find the maximum possible \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i).
What is the bitwise logical sum (bitwise OR)?
The logical sum (or the OR operation) is an operation on two one-bit integers (0 or 1) defined by the table below.The bitwise logical sum (bitwise OR) is an operation of applying the logical sum bitwise.
| x | y | x|y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
The logical sum yields 1 if at least one of the bits x and y is 1. Conversely, it yields 0 only if both of them are 0.
Example
0110 | 0101 = 0111
Constraints
- 2 \leq N \leq 5\times 10^5
- 0\leq A_i,B_i \leq 31
- All values in the input are integers.
Input
The input is given from Standard Input in the following format:
N
A_0 A_1 \ldots A_{N-1}
B_0 B_1 \ldots B_{N-1}
Output
Print the maximum possible \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i).
Sample Input 1
3 0 1 3 0 2 3
Sample Output 1
8
If Takahashi does not perform the operation, A remains (0,1,3), and we have \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(0|0)+(1|2)+(3|3)=0+3+3=6;
if he performs the operation once, making A=(1,3,0), we have \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(1|0)+(3|2)+(0|3)=1+3+3=7; and
if he performs the operation twice, making A=(3,0,1), we have \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(3|0)+(0|2)+(1|3)=3+2+3=8.
If he performs the operation three or more times, A becomes one of the sequences above, so the maximum possible \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i) is 8, which should be printed.
Sample Input 2
5 1 6 1 4 3 0 6 4 0 1
Sample Output 2
23
The value is maximized if he performs the operation three times, making A=(4,3,1,6,1),
where \displaystyle\sum_{i=0}^{N-1} (A_i|B_i)=(4|0)+(3|6)+(1|4)+(6|0)+(1|1)=4+7+5+6+1=23.