toam さんの解説 にあるように、求める値は

\(\displaystyle \sum_{k=2}^{N-1} {}_N C_k \cdot {}_{N-k} H_{k-2}\cdot (N-k+1) = \sum_{k=2}^{N-1} (N-k+1) \cdot \binom{N}{k} \cdot \binom{N-3}{k-2}\)

と表せます。この値を (適切な前処理のもと) \(O(1)\) で計算可能な形に変形することが目標です。

まず、二項係数の重要な性質として次の等式が成り立ちます：

1. \(\displaystyle \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\)

2. \(\displaystyle \binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}\)

3. \(\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n}{r} \times \binom{n-1}{r-1}\)

今回は 1. と 3. を利用します。

\(\begin{aligned} \displaystyle & \quad \sum_{k=2}^{N-1} (N-k+1) \cdot \binom{N}{k} \cdot \binom{N-3}{k-2} \\ &= \sum_{k=2}^{N-1} (N+1) \cdot \binom{N}{k} \cdot \binom{N-3}{k-2} - \sum_{k=2}^{N-1} k \cdot \frac{N}{k} \binom{N-1}{k-1} \cdot \binom{N-3}{k-2} \\ &= (N+1) \sum_{k=2}^{N-1} \binom{N}{N-k} \cdot \binom{N-3}{k-2} - N \sum_{k=2}^{N-1} \binom{N-1}{N-k} \cdot \binom{N-3}{k-2} \end{aligned}\)

ここで、\(1\) 項めの \(\sum\) を組み合わせの視点から考えてみます。

\(\binom{N}{N-k} \cdot \binom{N-3}{k-2}\) は「男子が \(N\) 人、女子が \((N-3)\) 人いる。男子から \((N-k)\) 人、女子から \((k-2)\) 人の委員を選出する方法は何通りあるか」の答えとみなせます。
\(k\) に依らず委員の総数は \((N-k) + (k-2) = (N-2)\) 人であるため、上の値を \(k = 2, 3, \ldots, N-1\) について足し合わせると「男子が \(N\) 人、女子が \((N-3)\) 人いる。男女合わせて \((N-2)\) 人の委員を選出する方法は全部で何通りあるか」の答えになります。

つまり、\(\sum_{k=2}^{N-1} \binom{N}{N-k} \cdot \binom{N-3}{k-2} = \binom{2N-3}{N-2}\) が成り立つため、真に求める値は

\(\displaystyle \quad \sum_{k=2}^{N-1} (N-k+1) \cdot \binom{N}{k} \cdot \binom{N-3}{k-2} = (N+1) \cdot \binom{2N-3}{N-2} - N \cdot \binom{2N-4}{N-2}\)

と表せます。