母関数を用いることで係数を簡単に計算する方法について述べます．

数列を 0-indexed とします．

\(A\) の母関数を \(\mathcal{A}\) とすると，\(A\) の累積和の母関数は \(\dfrac{\mathcal{A}}{1-x}\) です．従って，\(D\) の母関数 \(\mathcal{D}\) に関して \(\mathcal{D} = \dfrac{\mathcal{A}}{(1-x) ^ 3}\) が成り立ちます．

非負整数 \(d\) に対して \((1)\) が成り立ちます．

\[ \dfrac{1}{(1-x) ^ {d + 1}} = \sum _ {n = 0} ^ \infty \binom{n+d}{d} x ^ n. \tag{1} \]

従って，\((2)\) を得ます．

\[\displaystyle D _ k = [x ^ k] \mathcal{D} = [x ^ k]\dfrac{\mathcal{A}}{(1-x) ^ 3} = \sum _ {i = 0} ^ k A _ i \binom{k - i + 2}{2} .\tag{2}\]

\((2)\) を整理することで，\((2')\) を得ます．

\[D _ k = \dfrac{1}{2}\sum _ {i = 0} ^ k i ^ 2 A _ i - \dfrac{2k + 3}{2}\sum _ {i = 0} ^ k i A _ i + \dfrac{(k+2)(k+1)}{2}\sum _ {i = 0} ^ k A _ i \tag{2'}\]

これは，公式解説 の式と確かに一致しています．