G - Intersection of Polygons Editorial /

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配点 : 600 点

問題文

xy -平面上の凸 N 角形 P の頂点が、反時計回りに (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_N, y_N) として与えられます。（ただし、x 軸の正の方向を右向き、y 軸の正の方向を上向きとします。）

この多角形 P に対して、M 個の凸 N 多角形 P_1, P_2, \ldots, P_M を考えます。
i = 1, 2, \ldots, M について多角形 P_i は、 多角形 P を x 軸の正の方向に u_i 、y 軸の正の方向に v_i だけ平行移動して得られる多角形です。すなわち、P_i は N 個の点 (x_1+u_i, y_1+v_i), (x_2+u_i, y_2+v_i), \ldots, (x_N+u_i, y_N+v_i) を頂点とする凸 N 角形です。

Q 個の点 (a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_Q, b_Q) のそれぞれについて、 「その点が M 個の多角形 P_1, P_2, \ldots, P_M のすべてに含まれるか」を判定してください。

ただし、点が多角形の境界上にある場合も、その点はその多角形に含まれるとみなします。

制約

  • 3 \leq N \leq 50
  • 1 \leq M \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq Q \leq 2 \times 10^5
  • -10^8 \leq x_i, y_i \leq 10^8
  • -10^8 \leq u_i, v_i \leq 10^8
  • -10^8 \leq a_i, b_i \leq 10^8
  • 入力はすべて整数
  • (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_N, y_N) は反時計回りに凸多角形をなす
  • 多角形 P のそれぞれの内角の大きさは 180 度未満

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
x_1 y_1
x_2 y_2
\vdots
x_N y_N
M
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_M v_M
Q
a_1 b_1
a_2 b_2
\vdots
a_Q b_Q

出力

Q 行出力せよ。i = 1, 2, \ldots, Q について、i 行目には点 (a_i, b_i) が M 個の多角形 P_1, P_2, \ldots, P_M のすべてに含まれる場合は Yes を、そうでない場合は No を出力せよ。

入力例 1

5
-2 -3
0 -2
1 0
0 2
-2 1
2
0 1
1 0
6
0 0
1 0
0 1
1 1
-1 -1
-1 -2

出力例 1

Yes
No
Yes
Yes
Yes
No

多角形 P は (-2, -3), (0, -2), (1, 0), (0, 2), (-2, 1) を頂点とする 5 角形です。

  • 多角形 P_1 は、P を x 軸の正の方向に 0 、y 軸の正の方向に 1 だけ平行移動させた、(-2, -2), (0, -1), (1, 1), (0, 3), (-2, 2) を頂点とする 5 角形です。
  • 多角形 P_2 は、P を x 軸の正の方向に 1 、y 軸の正の方向に 0 だけ平行移動させた、(-1, -3), (1, -2), (2, 0), (1, 2), (-1, 1) を頂点とする 5 角形です。

よって、下記の通りに 6 行出力します。

  • (a_1, b_1) = (0, 0) は P_1 と P_2 の両方に含まれるので、1 行目には Yes を出力します。
  • (a_2, b_2) = (1, 0) は P_2 には含まれますが P_1 には含まれないので、2 行目には No を出力します。
  • (a_3, b_3) = (0, 1) は P_1 と P_2 の両方に含まれるので、3 行目には Yes を出力します。
  • (a_4, b_4) = (1, 1) は P_1 と P_2 の両方に含まれるので、4 行目には Yes を出力します。
  • (a_5, b_5) = (-1, -1) は P_1 と P_2 の両方に含まれるので、5 行目には Yes を出力します。
  • (a_6, b_6) = (-1, -2) は P_2 には含まれますが P_1 には含まれないので、6 行目には No を出力します。

多角形の境界上にある点も多角形に含まれるとみなすことに注意してください。

入力例 2

10
45 100
-60 98
-95 62
-95 28
-78 -41
-54 -92
-8 -99
87 -94
98 23
87 91
5
-57 -40
-21 -67
25 39
-30 25
39 -20
16
4 5
-34 -8
-63 53
78 84
19 -16
64 9
-13 7
13 53
-20 4
2 -7
3 18
-12 10
-69 -93
2 9
27 64
-92 -100

出力例 2

Yes
Yes
No
No
Yes
No
Yes
No
Yes
Yes
Yes
Yes
No
Yes
No
No

Score : 600 points

Problem Statement

The vertices of a convex N-gon P in an xy-plane are given as (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_N, y_N) in the counterclockwise order. (Here, the positive direction of the x-axis is right, and the positive direction of the y-axis is up.)

Based on this polygon P, we consider M convex N-gons P_1, P_2, \ldots, P_M.
For i = 1, 2, \ldots, M, the polygon P_i is obtained by shifting P in the positive direction of the x-axis by u_i and in the positive direction of the y-axis by v_i. In other words, P_i is a convex N-gon whose vertices are (x_1+u_i, y_1+v_i), (x_2+u_i, y_2+v_i), \ldots, (x_N+u_i, y_N+v_i).

For each of Q points (a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_Q, b_Q), determine if "the point is contained in all of the M polygons P_1, P_2, \ldots, P_M."

Here, we regard a point is also contained in a polygon if the point is on the polygon's boundary.

Constraints

  • 3 \leq N \leq 50
  • 1 \leq M \leq 2 \times 10^5
  • 1 \leq Q \leq 2 \times 10^5
  • -10^8 \leq x_i, y_i \leq 10^8
  • -10^8 \leq u_i, v_i \leq 10^8
  • -10^8 \leq a_i, b_i \leq 10^8
  • All values in input are integers.
  • (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_N, y_N) forms a convex N-gon in the counterclockwise order.
  • Each interior angle of the polygon P is less than 180 degrees.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x_1 y_1
x_2 y_2
\vdots
x_N y_N
M
u_1 v_1
u_2 v_2
\vdots
u_M v_M
Q
a_1 b_1
a_2 b_2
\vdots
a_Q b_Q

Output

Print Q lines. For i = 1, 2, \ldots, Q, the i-th line should contain Yes if point (a_i, b_i) is contained in all of the M polygons P_1, P_2, \ldots, P_M; it should contain No otherwise.

Sample Input 1

5
-2 -3
0 -2
1 0
0 2
-2 1
2
0 1
1 0
6
0 0
1 0
0 1
1 1
-1 -1
-1 -2

Sample Output 1

Yes
No
Yes
Yes
Yes
No

Polygon P is a pentagon (5-gon) whose vertices are (-2, -3), (0, -2), (1, 0), (0, 2), (-2, 1).

  • Polygon P_1 is a pentagon (5-gon) obtained by shifting P in the positive direction of the x-axis by 0 and in the positive direction of the y-axis by 1, so its vertices are (-2, -2), (0, -1), (1, 1), (0, 3), (-2, 2).
  • Polygon P_2 is a pentagon (5-gon) obtained by shifting P in the positive direction of the x-axis by 1 and in the positive direction of the y-axis by 0, so its vertices are (-1, -3), (1, -2), (2, 0), (1, 2), (-1, 1).

Thus, the following 6 lines should be printed.

  • The 1-st line should be Yes because (a_1, b_1) = (0, 0) is contained in both P_1 and P_2.
  • The 2-nd line should be No because (a_2, b_2) = (1, 0) is contained in P_2 but not in P_1.
  • The 3-rd line should be Yes because (a_3, b_3) = (0, 1) is contained in both P_1 and P_2.
  • The 4-th line should be Yes because (a_4, b_4) = (1, 1) is contained in both P_1 and P_2.
  • The 5-th line should be Yes because (a_5, b_5) = (-1, -1) is contained in both P_1 and P_2.
  • The 6-th line should be No because (a_6, b_6) = (-1, -2) is contained in P_2 but not in P_1.

Note that a point on the boundary of a polygon is also considered to be contained in the polygon.

Sample Input 2

10
45 100
-60 98
-95 62
-95 28
-78 -41
-54 -92
-8 -99
87 -94
98 23
87 91
5
-57 -40
-21 -67
25 39
-30 25
39 -20
16
4 5
-34 -8
-63 53
78 84
19 -16
64 9
-13 7
13 53
-20 4
2 -7
3 18
-12 10
-69 -93
2 9
27 64
-92 -100

Sample Output 2

Yes
Yes
No
No
Yes
No
Yes
No
Yes
Yes
Yes
Yes
No
Yes
No
No