任意の\(1\leq i\leq N\) に対して、\(1\leq \left[ \frac{N}{i} \right] \leq N\)が成り立つことに注意します。

\(k_0= [\sqrt{N}]\)とし、 \(k=1,2,\ldots,k_0\) に対して、 \( \left[ \frac{N}{i} \right]=k\) をみたす \(i\) の個数を数えることを考えます。
\(\left[ \frac{N}{i} \right]=k\) すなわち \(k\leq \frac{N}{i}<k+1\)は \(\frac{N}{k+1}<i\leq \frac{N}{k}\) と書き換えられ、これをみたす整数 \(i\) は \(\left( \left[ \frac{N}{k} \right]-\left[ \frac{N}{k+1} \right]\right) \) 個存在します。

次に、そうでない、すなわち\(\left[ \frac{N}{i} \right]\geq k_0+1\) となるようなものを考えます。
このとき、 \(\frac{N}{i}\geq k_0+1\) より、\(i\leq \frac{N}{k_0+1}<\sqrt{N}\) であり、そのような正整数 \(i\) は高々 \(\sqrt{N}\) 個しか存在せず、\(1\) つずつ足し上げて行くことができます。

よって答えは、

\[ \sum_{k=1}^{k_0} \left( \left( \left[ \frac{N}{k} \right]-\left[ \frac{N}{k+1} \right]\right) \times k\right)+ \sum_{i=1}^{\left[ \frac{N}{k_0+1} \right]} \left[ \frac{N}{i} \right] \]

と求められ、どちらの項も \(O(\sqrt{N})\)で求められるため、よってこの問題を解く事が出来ました。

c++による実装例:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;


int main(void) {
	long long n, ans, k;
	cin >> n;

	for (long long i = 1; i <= n; i++) {
		if (i*i <= n)k = i;
		else break;
	}

	ans = 0;
	for (long long i = 1; i <= k; i++)ans += ((n / i) - (n / (i + 1)))*i;
	for (long long i = 1; i <= n / (k + 1); i++)ans += (n / i);
	
	cout << ans << endl;
	return 0;
}