E - Sequence Sum

Contest Duration: 2020-09-19(Sat) 12:00 - 2020-09-19(Sat) 13:40 (local time) (100 minutes) Back to Home

E - Sequence Sum Editorial

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : $500$ 点

問題文

$x$ を $m$ で割った余りを $f(x,m)$ と表します。

初期値 $A_1=X$ および漸化式 $A_{n+1}= f(A_n^2, M)$ で定まる数列を $A$ とします。 $\displaystyle{\sum_{i=1}^N A_i}$ を求めてください。

制約

$1 \leq N \leq 10^{10}$
$0 \leq X < M \leq 10^5$
入力は全て整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

 $N$   $X$   $M$

出力

$\displaystyle{\sum_{i=1}^N A_i}$ を出力せよ。

入力例 1Copy

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6 2 1001

出力例 1Copy

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数列 $A$ は $2,4,16,256,471,620,\ldots$ となるので、答えは $2+4+16+256+471+620=1369$ となります。

入力例 2Copy

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1000 2 16

出力例 2Copy

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数列 $A$ は $2,4,0,0,\ldots$ となるので、答えは $6$ となります。

入力例 3Copy

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10000000000 10 99959

出力例 3Copy

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492443256176507

Score : $500$ points

Problem Statement

Let us denote by $f(x, m)$ the remainder of the Euclidean division of $x$ by $m$ .

Let $A$ be the sequence that is defined by the initial value $A_1=X$ and the recurrence relation $A_{n+1} = f(A_n^2, M)$ . Find $\displaystyle{\sum_{i=1}^N A_i}$ .

Constraints

$1 \leq N \leq 10^{10}$
$0 \leq X < M \leq 10^5$
All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

 $N$   $X$   $M$

Output

Print $\displaystyle{\sum_{i=1}^N A_i}$ .

Sample Input 1Copy

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6 2 1001

Sample Output 1Copy

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The sequence $A$ begins $2,4,16,256,471,620,\ldots$ Therefore, the answer is $2+4+16+256+471+620=1369$ .

Sample Input 2Copy

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1000 2 16

Sample Output 2Copy

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The sequence $A$ begins $2,4,0,0,\ldots$ Therefore, the answer is $6$ .

Sample Input 3Copy

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10000000000 10 99959

Sample Output 3Copy

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492443256176507