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配点 : 600 点
問題文
石の山が N 個あり、i 番目の山には A_i 個の石があります。
これを使って青木君と高橋君が次のようなゲームをしようとしています。
- 青木君から交互に、次の操作を繰り返す
- 操作：石の山を 1 つ選び、そこから 1 個以上の石を取り除く
- 先に操作ができなくなった方の負け
このゲームは、両者が最適に行動する場合、ゲーム開始時の各山の石の個数のみによって、先手必勝か後手必勝かが決まります。
そこで高橋君は、ゲームを始める前に、 1 番目の山から 0 個以上 A_1 個未満の石を 2 番目の山に移すことで、後手の高橋君が必勝となるようにしようとしています。
そのようなことが可能なら移動する石の個数の最小値を、不可能ならかわりに -1 を出力してください。
制約
- 2 \leq N \leq 300
- 1 \leq A_i \leq 10^{12}
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N A_1 \ldots A_N
出力
移動する石の個数の最小値を出力せよ。不可能ならかわりに -1 を出力せよ。
入力例 1
2 5 3
出力例 1
1
石の移動をしなかった場合、青木君が最初に 1 番目の山から 2 個の石を取り除くと、高橋君はその後どのように行動しても負けてしまいます。
ゲームを始める前に 1 番目の山から 1 個の石を移動して、石の個数を 4,4 とした場合、適切な行動を取ることで、高橋君は必ず勝つことができます。
入力例 2
2 3 5
出力例 2
-1
2 番目の山から 1 番目の山へ石を移すことはできません。
入力例 3
3 1 1 2
出力例 3
-1
1 番目の山のすべての石を移すことはできません。
入力例 4
8 10 9 8 7 6 5 4 3
出力例 4
3
入力例 5
3 4294967297 8589934593 12884901890
出力例 5
1
オーバーフローに注意してください。
Score : 600 points
Problem Statement
There are N piles of stones. The i-th pile has A_i stones.
Aoki and Takahashi are about to use them to play the following game:
- Starting with Aoki, the two players alternately do the following operation:
- Operation: Choose one pile of stones, and remove one or more stones from it.
- When a player is unable to do the operation, he loses, and the other player wins.
When the two players play optimally, there are two possibilities in this game: the player who moves first always wins, or the player who moves second always wins, only depending on the initial number of stones in each pile.
In such a situation, Takahashi, the second player to act, is trying to guarantee his win by moving at least zero and at most (A_1 - 1) stones from the 1-st pile to the 2-nd pile before the game begins.
If this is possible, print the minimum number of stones to move to guarantee his victory; otherwise, print -1 instead.
Constraints
- 2 \leq N \leq 300
- 1 \leq A_i \leq 10^{12}
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N A_1 \ldots A_N
Output
Print the minimum number of stones to move to guarantee Takahashi's win; otherwise, print -1 instead.
Sample Input 1
2 5 3
Sample Output 1
1
Without moving stones, if Aoki first removes 2 stones from the 1-st pile, Takahashi cannot win in any way.
If Takahashi moves 1 stone from the 1-st pile to the 2-nd before the game begins so that both piles have 4 stones, Takahashi can always win by properly choosing his actions.
Sample Input 2
2 3 5
Sample Output 2
-1
It is not allowed to move stones from the 2-nd pile to the 1-st.
Sample Input 3
3 1 1 2
Sample Output 3
-1
It is not allowed to move all stones from the 1-st pile.
Sample Input 4
8 10 9 8 7 6 5 4 3
Sample Output 4
3
Sample Input 5
3 4294967297 8589934593 12884901890
Sample Output 5
1
Watch out for overflows.