E - Sum of gcd of Tuples (Hard)

Contest Duration: 2020-04-12(Sun) 12:00 - 2020-04-12(Sun) 13:40 (local time) (100 minutes) Back to Home

E - Sum of gcd of Tuples (Hard) Editorial

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : $500$ 点

問題文

$1$ 以上 $K$ 以下の整数からなる長さ $N$ の数列 $\{A_1,...,A_N\}$ を考えます。

そのようなものは $K^N$ 個ありますが、その全てについての $\gcd(A_1,...,A_N)$ の和を求めてください。

ただし、答えは非常に大きくなる可能性があるため、和を $(10^9+7)$ で割ったあまりを出力してください。

なお、 $\gcd(A_1,...,A_N)$ は $A_1,...,A_N$ の最大公約数を表します。

制約

$2 \leq N \leq 10^5$
$1 \leq K \leq 10^5$
入力は全て整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

 $N$   $K$

出力

$K^N$ 個の数列全てについての $\gcd(A_1,...,A_N)$ の和を $(10^9+7)$ で割ったあまりを出力せよ。

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3 2

出力例 1Copy

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$\gcd(1,1,1)+\gcd(1,1,2)+\gcd(1,2,1)+\gcd(1,2,2)$ $+\gcd(2,1,1)+\gcd(2,1,2)+\gcd(2,2,1)+\gcd(2,2,2)$ $=1+1+1+1+1+1+1+2=9$

となるため、答えは $9$ です。

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3 200

出力例 2Copy

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10813692

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100000 100000

出力例 3Copy

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742202979

和を $10^9+7$ で割った余りを出力してください。

Score : $500$ points

Problem Statement

Consider sequences $\{A_1,...,A_N\}$ of length $N$ consisting of integers between $1$ and $K$ (inclusive).

There are $K^N$ such sequences. Find the sum of $\gcd(A_1, ..., A_N)$ over all of them.

Since this sum can be enormous, print the value modulo $(10^9+7)$ .

Here $\gcd(A_1, ..., A_N)$ denotes the greatest common divisor of $A_1, ..., A_N$ .

Constraints

$2 \leq N \leq 10^5$
$1 \leq K \leq 10^5$
All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

 $N$   $K$

Output

Print the sum of $\gcd(A_1, ..., A_N)$ over all $K^N$ sequences, modulo $(10^9+7)$ .

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3 2

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$\gcd(1,1,1)+\gcd(1,1,2)+\gcd(1,2,1)+\gcd(1,2,2)$ $+\gcd(2,1,1)+\gcd(2,1,2)+\gcd(2,2,1)+\gcd(2,2,2)$ $=1+1+1+1+1+1+1+2=9$

Thus, the answer is $9$ .

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3 200

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10813692

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100000 100000

Sample Output 3Copy

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742202979

Be sure to print the sum modulo $(10^9+7)$ .