C - Average Length Editorial /

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配点 : 300 点

問題文

座標平面上に N 個の町があります。町 i は、座標 ( x_i , y_i ) に位置しています。町 i と町 j の間の距離は \sqrt{\left(x_i-x_j\right)^2+\left(y_i-y_j\right)^2} です。

これらの町を全て 1 回ずつ訪れるとき、町を訪れる経路は全部で N! 通りあります。1 番目に訪れる町から出発し、2 番目に訪れる町、3 番目に訪れる町、\ldots、を経由し、N 番目に訪れる町に到着するまでの移動距離 (町から町への移動は直線移動とします) を、その経路の長さとします。これらの N! 通りの経路の長さの平均値を計算してください。

制約

  • 2 ≤ N ≤ 8
  • -1000 ≤ x_i ≤ 1000
  • -1000 ≤ y_i ≤ 1000
  • \left(x_i, y_i\right) \neq \left(x_j, y_j\right) ( i \neq j のとき)
  • (21:12 追記) 入力中の値はすべて整数である。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
x_1 y_1
:
x_N y_N

出力

経路の長さの平均値を出力せよ。 出力は、ジャッジの出力との絶対誤差または相対誤差が 10^{-6} 以下のとき正解と判定される。

入力例 1

3
0 0
1 0
0 1

出力例 1

2.2761423749

町を訪れる経路は 1 → 2 → 3 , 1 → 3 → 2 , 2 → 1 → 3 , 2 → 3 → 1 , 3 → 1 → 2 , 3 → 2 → 1 の 6 通りです。

このうち、経路 1 → 2 → 3 の長さは、\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(0-0\right)^2} + \sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-1\right)^2} = 1+\sqrt{2} となります。

同様に他の経路についても長さを計算すると、経路の長さの平均値は、

\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(2\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(2\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)}{6} = 2.276142...

であると分かります。

入力例 2

2
-879 981
-866 890

出力例 2

91.9238815543

町を訪れる経路は 1 → 2 , 2 → 1 の 2 通りありますが、これらの経路の長さは一致します。

入力例 3

8
-406 10
512 859
494 362
-955 -475
128 553
-986 -885
763 77
449 310

出力例 3

7641.9817824387

Score : 300 points

Problem Statement

There are N towns in a coordinate plane. Town i is located at coordinates (x_i, y_i). The distance between Town i and Town j is \sqrt{\left(x_i-x_j\right)^2+\left(y_i-y_j\right)^2}.

There are N! possible paths to visit all of these towns once. Let the length of a path be the distance covered when we start at the first town in the path, visit the second, third, \dots, towns, and arrive at the last town (assume that we travel in a straight line from a town to another). Compute the average length of these N! paths.

Constraints

  • 2 \leq N \leq 8
  • -1000 \leq x_i \leq 1000
  • -1000 \leq y_i \leq 1000
  • \left(x_i, y_i\right) \neq \left(x_j, y_j\right) (if i \neq j)
  • (Added 21:12 JST) All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x_1 y_1
:
x_N y_N

Output

Print the average length of the paths. Your output will be judges as correct when the absolute difference from the judge's output is at most 10^{-6}.

Sample Input 1

3
0 0
1 0
0 1

Sample Output 1

2.2761423749

There are six paths to visit the towns: 1 → 2 → 3, 1 → 3 → 2, 2 → 1 → 3, 2 → 3 → 1, 3 → 1 → 2, and 3 → 2 → 1.

The length of the path 1 → 2 → 3 is \sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(0-0\right)^2} + \sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-1\right)^2} = 1+\sqrt{2}.

By calculating the lengths of the other paths in this way, we see that the average length of all routes is:

\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(2\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(2\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)}{6} = 2.276142...

Sample Input 2

2
-879 981
-866 890

Sample Output 2

91.9238815543

There are two paths to visit the towns: 1 → 2 and 2 → 1. These paths have the same length.

Sample Input 3

8
-406 10
512 859
494 362
-955 -475
128 553
-986 -885
763 77
449 310

Sample Output 3

7641.9817824387