F - Fork in the Road Editorial /

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配点 : 600 点

問題文

N 個の部屋と、M 本の一方向にのみ通れる通路から成る洞窟があります。部屋には 1 から N までの番号がついています。

高橋君はいま部屋 1 におり、部屋 N が出口へと繋がっています。i 番目の通路は部屋 s_i と部屋 t_i ( s_i < t_i ) を繋いでおり、部屋 s_i から部屋 t_i の方向にのみ通ることが出来ます。部屋 N 以外の各部屋について、その部屋から出る通路が少なくとも 1 つ存在することが分かっています。

高橋君はこの洞窟から脱出を試みます。部屋に到達するたびに (脱出開始時は部屋 1 に到達したとみなします)、高橋君はその部屋から出る通路のうち等確率でランダムに 1 つを選んで進みます。

高橋君の友達の青木君は、高橋君が部屋 1 から移動する前に 1 つだけ通路を塞ぐ (または何もしない) ことが出来ます。ただし、高橋君が部屋 N に到達できなくなる可能性が生じるような通路の塞ぎ方は出来ません。

高橋君が部屋 N に到達するまでに通る通路の数の期待値を E とします。青木君が E を最小化するような選択をしたときの E の値を求めてください。

制約

  • 2 ≤ N ≤ 600
  • N-1 ≤ M ≤ \frac{N(N-1)}{2}
  • s_i < t_i
  • i \neq j のとき、(s_i, t_i) \neq (s_j, t_j) (21:23 追記)
  • 任意の v = 1, 2, ..., N-1 に対し、ある i が存在して v = s_i

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N M
s_1 t_1
:
s_M t_M

出力

青木君が E を最小化するような選択をしたときの E の値を出力せよ。 出力は、ジャッジと出力との絶対誤差または相対誤差が 10^{-6} 以下のとき正解と判定される。

入力例 1

4 6
1 4
2 3
1 3
1 2
3 4
2 4

出力例 1

1.5000000000

青木君が部屋 1 から部屋 2 への通路を塞ぐと、高橋君は \frac{1}{2} の確率で 1 → 3 → 4 という経路を辿り、 \frac{1}{2} の確率で 1 → 4 という経路を辿ります。このとき E = 1.5 であり、これが E がとりうる最小の値です。

入力例 2

3 2
1 2
2 3

出力例 2

2.0000000000

どの通路を塞いでも部屋 N に到達出来なくなるため、青木君は通路を塞ぐことは出来ません。

入力例 3

10 33
3 7
5 10
8 9
1 10
4 6
2 5
1 7
6 10
1 4
1 3
8 10
1 5
2 6
6 9
5 6
5 8
3 6
4 8
2 7
2 9
6 7
1 2
5 9
6 8
9 10
3 9
7 8
4 5
2 10
5 7
3 5
4 7
4 9

出力例 3

3.0133333333

Score : 600 points

Problem Statement

There is a cave consisting of N rooms and M one-directional passages. The rooms are numbered 1 through N.

Takahashi is now in Room 1, and Room N has the exit. The i-th passage connects Room s_i and Room t_i (s_i < t_i) and can only be traversed in the direction from Room s_i to Room t_i. It is known that, for each room except Room N, there is at least one passage going from that room.

Takahashi will escape from the cave. Each time he reaches a room (assume that he has reached Room 1 at the beginning), he will choose a passage uniformly at random from the ones going from that room and take that passage.

Aoki, a friend of Takahashi's, can block one of the passages (or do nothing) before Takahashi leaves Room 1. However, it is not allowed to block a passage so that Takahashi is potentially unable to reach Room N.

Let E be the expected number of passages Takahashi takes before he reaches Room N. Find the value of E when Aoki makes a choice that minimizes E.

Constraints

  • 2 \leq N \leq 600
  • N-1 \leq M \leq \frac{N(N-1)}{2}
  • s_i < t_i
  • If i != j, (s_i, t_i) \neq (s_j, t_j). (Added 21:23 JST)
  • For every v = 1, 2, ..., N-1, there exists i such that v = s_i.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M
s_1 t_1
:
s_M t_M

Output

Print the value of E when Aoki makes a choice that minimizes E. Your output will be judged as correct when the absolute or relative error from the judge's output is at most 10^{-6}.

Sample Input 1

4 6
1 4
2 3
1 3
1 2
3 4
2 4

Sample Output 1

1.5000000000

If Aoki blocks the passage from Room 1 to Room 2, Takahashi will go along the path 1 → 3 → 4 with probability \frac{1}{2} and 1 → 4 with probability \frac{1}{2}. E = 1.5 here, and this is the minimum possible value of E.

Sample Input 2

3 2
1 2
2 3

Sample Output 2

2.0000000000

Blocking any one passage makes Takahashi unable to reach Room N, so Aoki cannot block a passage.

Sample Input 3

10 33
3 7
5 10
8 9
1 10
4 6
2 5
1 7
6 10
1 4
1 3
8 10
1 5
2 6
6 9
5 6
5 8
3 6
4 8
2 7
2 9
6 7
1 2
5 9
6 8
9 10
3 9
7 8
4 5
2 10
5 7
3 5
4 7
4 9

Sample Output 3

3.0133333333