F - Minimum Bounding Box Editorial /

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配点 : 600 点

問題文

二次元平面に N 個の点があります。i 番目の点の初期座標は (x_i, y_i) です。それぞれの点はこれから秒速 1 で同時に移動を始めます。点の移動方向は全て x 軸または y 軸に平行です。具体的には i 番目の点の移動方向は文字 d_i によって与えられ、

  • d_i = R のとき x 軸正方向
  • d_i = L のとき x 軸負方向
  • d_i = U のとき y 軸正方向
  • d_i = D のとき y 軸負方向

です。

あなたは点が移動を開始して以降、任意のタイミングで全ての点の動きを止めることができます (移動開始 0 秒後に止めることも可能です)。 動きを止めたあとの N 点の x 座標のうち最大のものを x_{max}、最小のものを x_{min}、y 座標のうち最大のものを y_{max}、最小のものを y_{min} とします。

(x_{max} - x_{min}) \times (y_{max} - y_{min}) としてありうる値の最小値を求めて出力してください。

制約

  • 1 \leq N \leq 10^5
  • -10^8 \leq x_i,\ y_i \leq 10^8
  • x_i, \ y_i はともに整数である。
  • d_i は R, L, U, D のいずれかである。

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
x_1 y_1 d_1
x_2 y_2 d_2
.
.
.
x_N y_N d_N

出力

(x_{max} - x_{min}) \times (y_{max} - y_{min}) としてありうる値の最小値を出力せよ。

ジャッジプログラムの出力との絶対誤差または相対誤差が 10^{-9} 以下のとき正解とみなされる。

入力例 1

2
0 3 D
3 0 L

出力例 1

0

3 秒後に 2 つの点は原点で重なり、このとき題意の値は 0 になります。

入力例 2

5
-7 -10 U
7 -6 U
-8 7 D
-3 3 D
0 -6 R

出力例 2

97.5

出力が整数にならない場合もあります。

入力例 3

20
6 -10 R
-4 -9 U
9 6 D
-3 -2 R
0 7 D
4 5 D
10 -10 U
-1 -8 U
10 -6 D
8 -5 U
6 4 D
0 3 D
7 9 R
9 -4 R
3 10 D
1 9 U
1 -6 U
9 -8 R
6 7 D
7 -3 D

出力例 3

273

Score : 600 points

Problem Statement

There are N points in a two-dimensional plane. The initial coordinates of the i-th point are (x_i, y_i). Now, each point starts moving at a speed of 1 per second, in a direction parallel to the x- or y- axis. You are given a character d_i that represents the specific direction in which the i-th point moves, as follows:

  • If d_i = R, the i-th point moves in the positive x direction;
  • If d_i = L, the i-th point moves in the negative x direction;
  • If d_i = U, the i-th point moves in the positive y direction;
  • If d_i = D, the i-th point moves in the negative y direction.

You can stop all the points at some moment of your choice after they start moving (including the moment they start moving). Then, let x_{max} and x_{min} be the maximum and minimum among the x-coordinates of the N points, respectively. Similarly, let y_{max} and y_{min} be the maximum and minimum among the y-coordinates of the N points, respectively.

Find the minimum possible value of (x_{max} - x_{min}) \times (y_{max} - y_{min}) and print it.

Constraints

  • 1 \leq N \leq 10^5
  • -10^8 \leq x_i,\ y_i \leq 10^8
  • x_i and y_i are integers.
  • d_i is R, L, U, or D.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x_1 y_1 d_1
x_2 y_2 d_2
.
.
.
x_N y_N d_N

Output

Print the minimum possible value of (x_{max} - x_{min}) \times (y_{max} - y_{min}).

The output will be considered correct when its absolute or relative error from the judge's output is at most 10^{-9}.

Sample Input 1

2
0 3 D
3 0 L

Sample Output 1

0

After three seconds, the two points will meet at the origin. The value in question will be 0 at that moment.

Sample Input 2

5
-7 -10 U
7 -6 U
-8 7 D
-3 3 D
0 -6 R

Sample Output 2

97.5

The answer may not be an integer.

Sample Input 3

20
6 -10 R
-4 -9 U
9 6 D
-3 -2 R
0 7 D
4 5 D
10 -10 U
-1 -8 U
10 -6 D
8 -5 U
6 4 D
0 3 D
7 9 R
9 -4 R
3 10 D
1 9 U
1 -6 U
9 -8 R
6 7 D
7 -3 D

Sample Output 3

273