C - Dice and Coin Editorial /

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配点 : 300 点

問題文

すぬけ君は 1 〜 N の整数が等確率で出る N 面サイコロと表と裏が等確率で出るコインを持っています。すぬけ君は、このサイコロとコインを使って今から次のようなゲームをします。

  1. まず、サイコロを 1 回振り、出た目を現在の得点とする。
  2. 得点が 1 以上 K-1 以下である限り、すぬけ君はコインを振り続ける。表が出たら得点は 2 倍になり、裏が出たら得点は 0 になる。
  3. 得点が 0 になった、もしくは K 以上になった時点でゲームが終了する。このとき、得点が K 以上である場合すぬけ君の勝ち、 0 である場合すぬけ君の負けである。

N と K が与えられるので、このゲームですぬけ君が勝つ確率を求めてください。

制約

  • 1 ≤ N ≤ 10^5
  • 1 ≤ K ≤ 10^5
  • 入力はすべて整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N K

出力

すぬけ君が勝つ確率を出力せよ。絶対誤差または相対誤差が 10^{-9} 以下のとき正解とみなされる。

入力例 1

3 10

出力例 1

0.145833333333
  • サイコロの出た目が 1 のとき、得点が 10 以上になるためには、 4 回コインを振って 4 連続で表が出る必要があります。この確率は、 \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{48} です。
  • サイコロの出た目が 2 のとき、得点が 10 以上になるためには、 3 回コインを振って 3 連続で表が出る必要があります。この確率は、 \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{24} です。
  • サイコロの出た目が 3 のとき、得点が 10 以上になるためには、 2 回コインを振って 2 連続で表が出る必要があります。この確率は、 \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{12} です。

よって、すぬけ君が勝つ確率は、 \frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{7}{48} \simeq 0.1458333333 です。

入力例 2

100000 5

出力例 2

0.999973749998

Score : 300 points

Problem Statement

Snuke has a fair N-sided die that shows the integers from 1 to N with equal probability and a fair coin. He will play the following game with them:

  1. Throw the die. The current score is the result of the die.
  2. As long as the score is between 1 and K-1 (inclusive), keep flipping the coin. The score is doubled each time the coin lands heads up, and the score becomes 0 if the coin lands tails up.
  3. The game ends when the score becomes 0 or becomes K or above. Snuke wins if the score is K or above, and loses if the score is 0.

You are given N and K. Find the probability that Snuke wins the game.

Constraints

  • 1 ≤ N ≤ 10^5
  • 1 ≤ K ≤ 10^5
  • All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N K

Output

Print the probability that Snuke wins the game. The output is considered correct when the absolute or relative error is at most 10^{-9}.

Sample Input 1

3 10

Sample Output 1

0.145833333333
  • If the die shows 1, Snuke needs to get four consecutive heads from four coin flips to obtain a score of 10 or above. The probability of this happening is \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{48}.
  • If the die shows 2, Snuke needs to get three consecutive heads from three coin flips to obtain a score of 10 or above. The probability of this happening is \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{24}.
  • If the die shows 3, Snuke needs to get two consecutive heads from two coin flips to obtain a score of 10 or above. The probability of this happening is \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{12}.

Thus, the probability that Snuke wins is \frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{7}{48} \simeq 0.1458333333.

Sample Input 2

100000 5

Sample Output 2

0.999973749998