2 を仕切りだと思います。

仕切りによって、数列は \(X_{2} + 1\) 個の区間に分割されます。

これらの区間のうち、ちょうど \(k\) 個が 1 を含むとします。

\(k\) 個の区間を選ぶ方法は \(\binom{X_{2} + 1}{k}\) 通りです。

これら \(k\) 個の区間に 1 を入れる方法は \(\binom{X_{1} - 1}{k - 1}\) 通りです。

残りの \(X_{2} + 1 - k\) 個の区間に 3 を入れる方法は \(\binom{X_{3} + X_{2} - k}{X_{2} - k}\) 通りです。(3 が含まれない区間があっても良いことに注意してください。)

これら \(3\) つの積を \(k = 1, \dots, X_{2}\) について求め、それらの総和を出力すれば良いです。公式解説のような場合分けは要りません。

c++ による実装例

なお、この式を形式的冪級数によって導出することもできます。

harurun さんの解説では、\([Y^{X_{1}}Z^{X_{3}}]\left(\frac{Y}{1 - Y} + \frac{Z}{1 - Z} + 1\right)^{X_{2} + 1}\) の値を求めればいいとされています。

この解説では \([Y^{X_{1}}Z^{X_{3}}]\left(\frac{Y}{1 - Y} + \frac{1}{1 - Z}\right)^{X_{2} + 1}\) と思って計算しているのと同値です。