\(A\) の末尾に \(1\) を追加することで、条件を\(\displaystyle\sum _ {i=1} ^ NA _ ix _ i=M\) としておきます。

形式的べき級数 \(f _ i(z)\) を \(\displaystyle f _ i(z)=\sum _ {k=0} ^ \infty z ^ {A _ ik}\) で定めると、\(\displaystyle\prod _ {i=1} ^ Nf _ i\) の \(z ^ M\) の係数が求める値です。 \(f _ i(z)=\dfrac1{1-z ^ {A _ i}}\) であるので、これは\(\dfrac1{\prod _ i(1-z ^ {A _ i})}\) の \(z ^ M\) の係数です。

あとは、この値を Bostan-Mori 法などを用いて求めればよいです。

公式解説の操作を、分母および分子に \(\displaystyle\prod _ {i=1} ^ N\sum _ {k=0} ^ {d-1}z ^ {A _ ik}\) をかけて Bostan-Mori と同様に次数を減らすような操作としてとらえることもできます。