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配点 : 800 点
今年のうさぎの色は帽子の色と近いので，完全に同じにした画像も作っておきました．
問題文
以下の画像は 200 \times 200 のうさぎの白黒 PNG 画像である．上から i 行目，左から j 列目の画素を (i, j) と表す (ただし i も j も 0 から数える．0 \le i, j < 200)．
正整数 K と整数 A_0, A_1, \ldots, A_{200K-1} と B_0, B_1, \ldots, B_{200K-1} と C_0, C_1, \ldots, C_{400K-1} が与えられる．
うさぎの画像を縦横 K 倍に拡大することを考える．拡大後の画像の上から i 行目，左から j 列目の画素 (ただし i も j も 0 から数える．0 \le i, j < 200K) の色は，拡大前の画素 (\lfloor i/K \rfloor, \lfloor j/K \rfloor) の色に等しい．
拡大後の画像のすべての黒い画素 (i, j) についての A_i B_j C_{i+j} の合計を 998244353 で割った余りを求めよ．
制約
- 1 \le K \le 5000．
- 0 \le A_i < 1000 (0 \le i < 200K)．
- 0 \le B_i < 1000 (0 \le i < 200K)．
- 0 \le C_i < 1000 (0 \le i < 400K)．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
K
A_0 A_1 \cdots A_{200K-1}
B_0 B_1 \cdots B_{200K-1}
C_0 C_1 \cdots C_{400K-1}
出力
合計を 998244353 で割った余りを出力せよ．
入力例 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
出力例 1
1394100
この例では A_i = 2,\, B_i = 5,\, C_i = 10 である．
入力例 2
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799
出力例 2
141942117
この例では A_i = i,\, B_i = i,\, C_i = i である．
実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点
出力サイズが大きくなりすぎないようにちゃんと制約を設けておきました．
問題文
正整数 N が与えられる．
正整数 m に対して，美しい模様とは，m 行 N 列のマス目の各マスに文字 0, 1 のいずれかを以下の条件を満たすように書き込んだものとする：
- どの 2 つの行についても，文字が異なる列が 1 箇所以上ある．
- 各 i = 1, 2, \ldots, m-1 について，i 行目と i+1 行目で文字が異なる列はちょうど 1 箇所である．
1と1は横に隣接しない．
美しい模様が存在するような最大の m を求め，さらにその m に対する美しい模様を 1 つ求めよ．
制約
- 美しい模様が存在するような最大の m は，mN \le 10^7 を満たす．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
N
出力
1 行目に，美しい模様が存在するような最大の m を出力せよ．
続く m 行に美しい模様を出力せよ．これらの各行は空白を含めずちょうど N 文字 (と改行) にせよ．
入力例 1
2
出力例 1
3 10 00 01
この出力例のほかに，
3 01 00 10
も正しい出力である．
実行時間制限: 2.5 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点
うさぎとねこの国では今，4 匹で遊ぶゲームが大流行しています．
問題文
1 個の入力ファイルにつき T 個のテストケースが与えられる．各テストケースで正整数 M, N と整数 A_1, A_2, \ldots, A_M が与えられるので，以下の問に答えよ．
M 匹のうさぎと N 匹のねこがいる．うさぎには 1, 2, \ldots, M と，ねこには 1, 2, \ldots, N と番号がついている．
2 匹のうさぎと 2 匹のねこを選ぶ方法 \binom{M}{2} \binom{N}{2} 通りのそれぞれについて，選ばれた 4 匹でちょうど 1 回ゲームを行い，各ゲームで 4 匹のうち勝者 1 匹を決定した．そして，
- うさぎ i (1 \le i \le M) が勝者となった回数 a_i
- ねこ j (1 \le j \le N) が勝者となった回数 b_j
を記録した．
ゲームの結果によって (a_1, a_2, \ldots, a_M) = (A_1, A_2, \ldots, A_M) となることがありうるか判定し，ありうる場合はその条件下で数列 (b_1, b_2, \ldots, b_N) としてありうるもののうち辞書順で最小のものを求めよ．
制約
- 1 \le T \le 10^5．
- 2 \le M \le 10^6．
- 2 \le N \le 10^6．
- 0 \le A_i \le (M-1) \binom{N}{2} (1 \le i \le M)．
- 1 個の入力ファイルにおける M の総和は 10^6 以下．
- 1 個の入力ファイルにおける N の総和は 10^6 以下．
入力
標準入力の 1 行目にテストケースの個数 T が与えられる．その後，T 個のテストケースがそれぞれ以下の形式で与えられる．
M N A_1 A_2 \cdots A_M
出力
各テストケースについて順番に 1 行ずつ，以下のように出力せよ．
(a_1, a_2, \ldots, a_M) = (A_1, A_2, \ldots, A_M) となることがありうる場合， その条件下で数列 (b_1, b_2, \ldots, b_N) としてありうるもののうち辞書順で最小のものを，以下の形式で出力せよ．
b_1 b_2 \cdots b_N
(a_1, a_2, \ldots, a_M) = (A_1, A_2, \ldots, A_M) となることがありえない場合，
-1
と出力せよ．
入力例 1
3 2 3 0 1 4 3 2 1 1 0 4 5 30 30 30 30
出力例 1
0 0 2 0 2 12 -1
1 個目のテストケースにおいて，ゲームの結果が以下のようであったとする：
- 「うさぎ 1，うさぎ 2，ねこ 1，ねこ 2」が選ばれたゲームでは，うさぎ 2 が勝者
- 「うさぎ 1，うさぎ 2，ねこ 1，ねこ 3」が選ばれたゲームでは，ねこ 3 が勝者
- 「うさぎ 1，うさぎ 2，ねこ 2，ねこ 3」が選ばれたゲームでは，ねこ 3 が勝者
このとき，(a_1, a_2) = (0, 1) = (A_1, A_2) となり，(b_1, b_2, b_3) = (0, 0, 2) となる．
一方 (b_1, b_2, b_3) が (0, 0, 2) より辞書順で小さくなることはないので，(0, 0, 2) が答えとなる．
実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点
プログラミングコンテストでは，指数的に増加する関数のオーダーを見積もる技術も大事です．
問題文
正整数 a, b, c に対し，a 個の a と b 個の b と c 個の c からなる文字列のうち，同じ文字が隣接しないものの個数を f(a,b,c) とおく．
正整数 A, B, C が与えられる．正整数 n に関する極限 z = \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1 + f(An,Bn,Cn))}{n} を以下の形式で求めよ．
この極限は収束し，\gcd(p, q) = 1 である正整数 p, q によって z = \log(p/q) と一意に書けることが証明できる．p - q r が 998244353 で割り切れ 0 \le r < 998244353 である整数 r (この問題の制約によって一意に定まることが証明できる) を出力せよ．
制約
- 1 \le A, B, C \le 10^6．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
A B C
出力
r を出力せよ．
入力例 1
1 1 1
出力例 1
8
f(1,1,1) = 6,\, f(2,2,2) = 30,\, f(3,3,3) = 174,\, \ldots であり，z = \log(8) となる．
入力例 2
2 3 4
出力例 2
751957674
z = \log(524288/3125) となる．
実行時間制限: 5 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点
Library Checker の Multipoint Evaluation では凄まじい高速化が試みられています．そこで，より実行時間の区別がつきやすいサイズのジャッジを用意いたしました．
問題文
整数 M, N, A, B, C, D, E, F, G, H が与えられる．整数 p_0, p_1, \ldots, p_{M-1} と q_0, q_1, \ldots, q_{N-1} を以下で定める：
- p_0 = A，p_i = (B p_{i-1} + C) \bmod D (1 \le i \le M-1)．
- q_0 = E，q_j = (F q_{j-1} + G) \bmod H (1 \le j \le N-1)．
x の多項式 f(x) = \sum_{i=0}^{M-1} p_i x^i を考える．各 j = 0, 1, \ldots, N-1 に対して r_j = f(q_j) \bmod 3^{19} と定める．
r_0, r_1, \ldots, r_{N-1} の bitwise XOR を求めよ．
ただし，整数 a と正整数 b に対し，a \bmod b で a を b で割った余り (0 以上 b 未満) を表す．
制約
- 1 \le M \le 10^7．
- 1 \le N \le 10^7．
- 0 \le A,B,C < D \le 10^9．
- 0 \le E,F,G < H \le 10^9．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
M N A B C D E F G H
出力
r_0, r_1, \ldots, r_{N-1} の bitwise XOR を出力せよ．
入力例 1
3 4 1 5 7 9 2 6 8 10
出力例 1
428
(p_0, p_1, p_2) = (1, 3, 4), (q_0, q_1, q_2, q_3) = (2, 0, 8, 6), (r_0, r_1, r_2, r_3) = (23, 1, 281, 163) となる．
入力例 2
1000 2000 0 1 1 1000000000 0 1 1 1000000000
出力例 2
663657950
実行時間制限: 5 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点
「パフ」という言葉には犬の餌の意味も犬の毛玉の意味もあるそうです？ ("Pfaffian" の発音とはだいぶ違うかもしれません)
問題文
正整数 N と，2N \times 2N 整数成分交代行列 (A_{i,j}), (B_{i,j}) が与えられる (index は 1 から数える)．すなわち以下を満たす：
- 1 \le i \le 2N に対し，A_{i,i} = 0,\, B_{i,i} = 0．
- 1 \le i < j \le 2N に対し，A_{j,i} = -A_{i,j},\, B_{j,i} = -B_{i,j}．
(i, j) 成分を x の多項式 A_{i,j} + B_{i,j} x とする 2N \times 2N 交代行列を考える．その Pfaffian は x の高々 N 次の多項式であるが，各係数を 101 で割った余り (0 以上 101 未満) を求めよ．
制約
- 1 \le N \le 250．
- -101 < A_{i,j} < 101 (1 \le i, j \le 2N)．
- -101 < B_{i,j} < 101 (1 \le i, j \le 2N)．
- A_{i,i} = 0 (1 \le i \le 2N)．
- B_{i,i} = 0 (1 \le i \le 2N)．
- A_{j,i} = -A_{i,j} (1 \le i < j \le 2N)．
- B_{j,i} = -B_{i,j} (1 \le i < j \le 2N)．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
N
A_{1,1} A_{1,2} \cdots A_{1,2N}
A_{2,1} A_{2,2} \cdots A_{2,2N}
\vdots
A_{2N,1} A_{2N,2} \cdots A_{2N,2N}
B_{1,1} B_{1,2} \cdots B_{1,2N}
B_{2,1} B_{2,2} \cdots B_{2,2N}
\vdots
B_{2N,1} B_{2N,2} \cdots B_{2N,2N}
出力
求める Pfaffian の x^k の係数 101 で割った余りを c_k として (0 \le k \le N)，以下の形式で出力せよ．
c_0 c_1 \cdots c_N
入力例 1
2 0 1 2 3 -1 0 4 5 -2 -4 0 6 -3 -5 -6 0 0 7 8 9 -7 0 10 11 -8 -10 0 12 -9 -11 -12 0
出力例 1
8 58 86
\operatorname{pf}\begin{bmatrix} 0 & 1+7x & 2+8x & 3+9x \\ -1-7x & 0 & 4+10x & 5+11x \\ -2-8x & -4-10x & 0 & 6+12x \\ -3-9x & -5-11x & -6-12x & 0 \end{bmatrix} = (1+7x)(6+12x) - (2+8x)(5+11x) + (3+9x)(4+10x) = 8 + 58x + 86x^2 である．
入力例 2
2 0 -1 -2 -3 1 0 4 5 2 -4 0 6 3 -5 -6 0 0 -7 -8 -9 7 0 10 11 8 -10 0 12 9 -11 -12 0
出力例 2
93 43 15
Pfaffian は -8 - 58x - 86x^2 となる．
入力例 3
3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
出力例 3
0 93 8 0
Pfaffian は -8x + 8x^2 となる．
入力例 4
4 0 -87 100 40 31 -96 -17 -65 87 0 -73 36 82 34 -57 -99 -100 73 0 -15 -92 -35 -79 -23 -40 -36 15 0 -69 -70 -52 -11 -31 -82 92 69 0 87 -18 -39 96 -34 35 70 -87 0 55 -17 17 57 79 52 18 -55 0 30 65 99 23 11 39 17 -30 0 0 19 -63 -17 98 91 -16 45 -19 0 -88 -70 24 -31 54 44 63 88 0 4 -10 -29 -27 23 17 70 -4 0 -41 -38 -9 -81 -98 -24 10 41 0 59 -29 -48 -91 31 29 38 -59 0 8 51 16 -54 27 9 29 -8 0 14 -45 -44 -23 81 48 -51 -14 0
出力例 4
89 18 43 78 13
実行時間制限: 1 sec / メモリ制限: 1024 MiB
配点 : 800 点 (部分点あり)
くろうさ「https://codeforces.com/contest/1991/problem/F」
しろうさ「これって n = 6 だと分割 10 通り全探索しなきゃいけないの？」
くろうさ「そんなことないよ」
しろうさ「意外と 1 通りくらいスキップしても落ちないことがあるのかぁ」
くろうさ「ということで今年は 171 問持ってきたよ」
しろうさ「大量の提出はお控えくださいね」
問題文
N を正整数とする．
集合 \{1, 2, \ldots, 2N\} の N 元集合 2 個への分割全体を \mathcal{P} とする．\lvert \mathcal{P} \rvert = \frac{1}{2} \binom{2N}{N} である．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} \in \mathcal{P} である．
1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} を満たす整数組 (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) に対し，良い分割とは，P \in \mathcal{P} であって，任意の I \in P に対し，辺の長さの集合が \{ a_i \mid i \in I \} となる非退化単純 N 角形が存在することとする．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} が良い分割であるための条件は，a_1, a_5, a_6 が三角形の 3 辺の長さかつ a_2, a_3, a_4 が三角形の 3 辺の長さとなることである．
N および，P \in \mathcal{P} が与えられる．良い分割がちょうど P のみであるような整数 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} は存在するか？
- 存在するとき，そのような (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) であってさらに a_{2N} \le 10^{17} を満たすものが存在することが証明できる．これらすべてを満たす (a_1, a_2, \ldots, a_{2N}) を 1 つ求めよ．
- 存在しないとき，次の条件を満たす非負整数 k と分割 Q_1, Q_2, \ldots, Q_k \in \mathcal{P} が存在するので，そのようなもののうち k が最小なものを 1 つ求めよ：
- j = 1, 2, \ldots, k に対し，Q_j \ne P．
- 任意の 1 \le a_1 < a_2 < \cdots < a_{2N} に対し，P が良い分割ならば，Q_1, Q_2, \ldots, Q_k のうち少なくとも 1 個は良い分割である．
入出力において，\mathcal{P} の元は，N 個の 0 と N 個の 1 からなる末尾が 1 の文字列で表す．各文字種の index の集合が分割の各元を表す．例えば，N = 3 のとき \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} を 100011 で表す．
制約
- 3 \le N \le 5．
部分点
- 制約を満たすすべての可能な入力データが 1 個ずつ含まれる．各データについて，正解した場合は N 点が与えられる．
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる．
N P
出力
問題文中の 2 つの場合に応じて，以下のいずれかの形式で出力せよ．
YES a_1 a_2 \cdots a_{2N}
NO k Q_1 Q_2 \cdots Q_k
入力例 1
3 100011
出力例 1
YES 2 4 6 8 10 11
P = \{ \{ 1, 5, 6 \}, \{ 2, 3, 4 \} \} である．
この出力例について，2, 10, 11 は三角形の 3 辺の長さとなり，4, 6, 8 も三角形の 3 辺の長さとなるので，P が良い分割になっている．他の分割が良い分割にならないこともわかる．
入力例 2
3 100101
出力例 2
NO 1 100011
P = \{ \{ 1, 4, 6 \}, \{ 2, 3, 5 \} \} である．
以下の 3 個の条件
- 1 \le a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6
- a_1, a_4, a_6 が三角形の 3 辺の長さとなる
- a_2, a_3, a_5 が三角形の 3 辺の長さとなる
が成り立つならば，以下の 2 個の条件
- a_1, a_5, a_6 が三角形の 3 辺の長さとなる
- a_2, a_3, a_4 が三角形の 3 辺の長さとなる
が成り立つことがわかる．