ゲームの遅延結合和に関する問題です。

\(N\) 個の不偏ゲーム \(G_1,G_2,\ldots,G_N\) の遅延結合和 とは、各手番で終了していないゲーム全てに着手するゲームと定義されます。

本問題であれば、Wythoff’s game \(N\) 個の遅延結合和として得られるゲームの勝敗判定ができれば良いです。

そして、遅延結合和の勝敗判定は以下のように行うことができます：

• 盤面 \(G\) の緊迫度 \(s(G)\) を以下のように定義する：
  • \(G\) が先手必勝盤面のとき：全ての後手必勝盤面 \(G\to G'\) に対する \(s(G')\) の最大値 \(+1\)
  • \(G\) が後手必勝盤面のとき：全ての先手必勝盤面 \(G\to G'\) に対する \(s(G')\) の最小値 \(+1\)
• このとき、\(\displaystyle\max_{1\le i\le N} s(G_i)\) が奇数なら先手必勝、後手なら後手必勝である。

盤面の左上を \((0,0)\) として考えます（全ての添字を \(-1\) し、0-indexed で考えます）。

また、操作に対称性があるため以下の判定では常に \(R_i \geq C_i\) を仮定します。

このとき、\((R_i,C_i)\) に置かれたコマの緊迫度は以下のように計算できます：

• \(R_i=C_i=0\) のとき：緊迫度は \(0\)
• \(C_i > 0\) で後手必勝盤面のとき：緊迫度は \(2\)
• \(R_i>0,C_i=0\) のとき：緊迫度は \(1\)
• \(R_i=C_i>0\) のとき：ある整数 \(n\) を用いて \(C_i=\left\lfloor n\varphi \right\rfloor\) と書けるなら緊迫度は \(3\) 、書けないなら緊迫度は \(1\)
• それ以外のとき：緊迫度は \(3\)

ここで、後手必勝盤面とはある非負整数 \(n\) を用いて \((R_i,C_i)=(\left\lfloor n\varphi \right\rfloor,\left\lfloor n\varphi^2 \right\rfloor)\) と表される場所に置かれたコマのことです。

以上を用いてコマを緊迫度 \(0,1,2,3\) の \(4\) 通りに分類し、適切に数え上げることでこの問題に正答することができます。