概要

連続するお菓子の区間（長さK以下）からM個選び、満足度の合計を最大化する問題です。

考察

問題の条件から、以下のことが分かります： - 各セットは連続する1個以上K個以下のお菓子から構成される - 同じ区間を2回以上選べないが、重なる区間は選べる - 満足度は区間内のおいしさの総和 - 選べる区間の総数は最大で約 \(N \times K\) 個（制約では最大3000×3000=9,000,000個）

素朴なアプローチとして、すべての可能な区間の満足度を計算し、大きい順にM個選ぶ方法が考えられます。制約上、区間の数は最大9,000,000個となり、これをソートするのは一見時間がかかりそうに見えますが、実際には \(N=3000\) のときの区間数は約4,500,000個で、Pythonでもソート可能な範囲内です。

アルゴリズム

1. 累積和の計算: おいしさの配列から累積和を事前計算します。これにより任意の区間の和を \(O(1)\) で求められます。
2. 全区間の満足度計算: 長さ1からKまでのすべての区間について、満足度（区間和）を計算しリストに格納します。
3. ソートと合計: 満足度リストを降順にソートし、上位M個の合計を出力します。

計算量

• 時間計算量: \(O(NK + NK \log(NK))\)
  • 区間の数は約 \(\frac{K(2N-K+1)}{2}\) ≒ \(O(NK)\)
  • ソートに \(O(NK \log(NK))\)
• 空間計算量: \(O(NK)\)
  • すべての区間の満足度を格納するため

実装のポイント

• 累積和を使うことで区間和の計算を高速化

• 二重ループで全ての有効な区間を列挙

• ソート時に reverse=True を指定して降順ソート

• 上位M個の合計を単純に計算

  ソースコード

def main():
    import sys
    data = sys.stdin.read().split()
    it = iter(data)
    N = int(next(it)); M = int(next(it)); K = int(next(it))
    A = list(map(int, [next(it) for _ in range(N)]))
    
    prefix = [0] * (N+1)
    for i in range(1, N+1):
        prefix[i] = prefix[i-1] + A[i-1]
    
    S = []
    for length in range(1, K+1):
        for start in range(0, N - length + 1):
            end = start + length - 1
            total = prefix[end+1] - prefix[start]
            S.append(total)
    
    S.sort(reverse=True)
    ans = sum(S[:M])
    print(ans)

if __name__ == "__main__":
    main()

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この解説は deepseekv3 によって生成されました。