AtCoder Regular Contest 103

C - /\/\/\/

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : 300 点

問題文

数列 a_1,a_2,... ,a_n が以下の条件を満たすとき、 /\/\/\/ と呼ぶことにします。

各 i = 1,2,..., n-2 について、a_i = a_{i+2}
数列に現れる数はちょうど 2 種類

偶数長の数列 v_1,v_2,...,v_n が与えられます。要素をいくつか書き換えることでこの数列を /\/\/\/ にしたいです。書き換える要素の数は最小でいくつになるか求めてください。

制約

2 \leq n \leq 10^5
n は偶数
1 \leq v_i \leq 10^5
v_i は整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

n
v_1 v_2 ... v_n

出力

書き換える要素数の最小値を出力してください。

入力例 1

4
3 1 3 2

出力例 1

数列 3,1,3,2 は /\/\/\/ ではありませんが、1 要素書き換えることで /\/\/\/ にすることができます。例えば、4 要素目を書き換えて 3,1,3,1 とすればよいです。

入力例 2

6
105 119 105 119 105 119

出力例 2

数列 105,119,105,119,105,119 は /\/\/\/ です。

入力例 3

4
1 1 1 1

出力例 3

数列 1,1,1,1 は 1 種類の数からなる数列であるため、 /\/\/\/ ではありません。

Score : 300 points

Problem Statement

A sequence a_1,a_2,... ,a_n is said to be /\/\/\/ when the following conditions are satisfied:

For each i = 1,2,..., n-2, a_i = a_{i+2}.
Exactly two different numbers appear in the sequence.

You are given a sequence v_1,v_2,...,v_n whose length is even. We would like to make this sequence /\/\/\/ by replacing some of its elements. Find the minimum number of elements that needs to be replaced.

Constraints

2 \leq n \leq 10^5
n is even.
1 \leq v_i \leq 10^5
v_i is an integer.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

n
v_1 v_2 ... v_n

Output

Print the minimum number of elements that needs to be replaced.

Sample Input 1

4
3 1 3 2

Sample Output 1

The sequence 3,1,3,2 is not /\/\/\/, but we can make it /\/\/\/ by replacing one of its elements: for example, replace the fourth element to make it 3,1,3,1.

Sample Input 2

6
105 119 105 119 105 119

Sample Output 2

The sequence 105,119,105,119,105,119 is /\/\/\/.

Sample Input 3

4
1 1 1 1

Sample Output 3

The elements of the sequence 1,1,1,1 are all the same, so it is not /\/\/\/.

D - Robot Arms

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : 600 点

問題文

すぬけ君の工場では，次のような特徴を持つ ロボットアーム を導入することになりました：

ロボットアームは，m 個の腕と m+1 個の関節からなる．腕には 1, 2, ..., m で，関節には 0, 1, ..., m で番号が付けられている．腕 i は関節 i-1 と関節 i をつなぐ．腕 i の長さは d_i である．
各腕には，それぞれ独立に モード を指定することができる．モードは L, R, D, U のいずれかであり，腕のモードはその腕の向きを指定する．工場を座標平面とみなすと，関節 i の座標 (x_i, y_i) は次のように定まる：
- (x_0, y_0) = (0, 0)．
- 腕 i のモードが L のとき，(x_i, y_i) = (x_{i-1} - d_{i}, y_{i-1})．
- 腕 i のモードが R のとき，(x_i, y_i) = (x_{i-1} + d_{i}, y_{i-1})．
- 腕 i のモードが D のとき，(x_i, y_i) = (x_{i-1}, y_{i-1} - d_{i})．
- 腕 i のモードが U のとき，(x_i, y_i) = (x_{i-1}, y_{i-1} + d_{i})．

すぬけ君は，腕のモードをうまく指定することにより，N 個の点 (X_1, Y_1), (X_2, Y_2), ..., (X_N, Y_N) のいずれにもロボットアームの関節 m をちょうど一致させられるようなロボットアームを導入したいです．このようなことは可能でしょうか？可能ならば，条件を満たすロボットアームおよび，各点 (X_j, Y_j) にそのロボットアームの関節 m を到達させるためのモードの指定方法を求めてください．

制約

入力はすべて整数である
1 \leq N \leq 1000
-10^9 \leq X_i \leq 10^9
-10^9 \leq Y_i \leq 10^9

部分点

300 点分のテストケースでは，-10 \leq X_i \leq 10 および -10 \leq Y_i \leq 10 が成り立つ．

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる．

N
X_1 Y_1
X_2 Y_2
:
X_N Y_N

出力

条件を満たすことが可能なら，次の形式で出力せよ．不可能な場合は -1 を出力せよ．

m
d_1 d_2 ... d_m
w_1
w_2
:
w_N

m および d_i はロボットアームの情報を表す．それぞれの変数の意味は問題文を参照せよ．ここで，1 \leq m \leq 40, 1 \leq d_i \leq 10^{12} かつ m, d_i はすべて整数でなければならない．

w_j は m 文字からなる文字列であり，点 (X_j, Y_j) にロボットアームの関節 m を到達させる方法を表す． w_j の i 文字目は L, R, D, U のいずれかの文字であり，腕 i のモードを表す．

入力例 1

出力例 1

2
1 2
RL
UU
DR

それぞれの (X_j, Y_j) にロボットアームの関節 m を到達させる方法において，各関節の位置は次のようになります．

(X_1, Y_1) = (-1, 0) に到達させる方法では，まず関節 0 の位置は (x_0, y_0) = (0, 0) です．腕 1 のモードが R なので，関節 1 の位置は (x_1, y_1) = (1, 0) です．腕 2 のモードが L なので，関節 m=2 の位置は (x_2, y_2) = (-1, 0) です．
(X_2, Y_2) = (0, 3) に到達させる方法では，(x_0, y_0) = (0, 0), (x_1, y_1) = (0, 1), (x_2, y_2) = (0, 3) です．
(X_3, Y_3) = (2, -1) に到達させる方法では，(x_0, y_0) = (0, 0), (x_1, y_1) = (0, -1), (x_2, y_2) = (2, -1) です．

入力例 2

出力例 2

-1

入力例 3

2
1 1
1 1

出力例 3

2
1 1
RU
UR

(X_j, Y_j) の中に同じ点が含まれることもあります．

入力例 4

3
-7 -3
7 3
-3 -7

出力例 4

5
3 1 4 1 5
LRDUL
RDULR
DULRD

Score : 600 points

Problem Statement

Snuke is introducing a robot arm with the following properties to his factory:

The robot arm consists of m sections and m+1 joints. The sections are numbered 1, 2, ..., m, and the joints are numbered 0, 1, ..., m. Section i connects Joint i-1 and Joint i. The length of Section i is d_i.
For each section, its mode can be specified individually. There are four modes: L, R, D and U. The mode of a section decides the direction of that section. If we consider the factory as a coordinate plane, the position of Joint i will be determined as follows (we denote its coordinates as (x_i, y_i)):
- (x_0, y_0) = (0, 0).
- If the mode of Section i is L, (x_{i}, y_{i}) = (x_{i-1} - d_{i}, y_{i-1}).
- If the mode of Section i is R, (x_{i}, y_{i}) = (x_{i-1} + d_{i}, y_{i-1}).
- If the mode of Section i is D, (x_{i}, y_{i}) = (x_{i-1}, y_{i-1} - d_{i}).
- If the mode of Section i is U, (x_{i}, y_{i}) = (x_{i-1}, y_{i-1} + d_{i}).

Snuke would like to introduce a robot arm so that the position of Joint m can be matched with all of the N points (X_1, Y_1), (X_2, Y_2), ..., (X_N, Y_N) by properly specifying the modes of the sections. Is this possible? If so, find such a robot arm and how to bring Joint m to each point (X_j, Y_j).

Constraints

All values in input are integers.
1 \leq N \leq 1000
-10^9 \leq X_i \leq 10^9
-10^9 \leq Y_i \leq 10^9

Partial Score

In the test cases worth 300 points, -10 \leq X_i \leq 10 and -10 \leq Y_i \leq 10 hold.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
X_1 Y_1
X_2 Y_2
:
X_N Y_N

Output

If the condition can be satisfied, follow the following format. If the condition cannot be satisfied, print -1.

m
d_1 d_2 ... d_m
w_1
w_2
:
w_N

m and d_i are the configurations of the robot arm. Refer to the problem statement for what each of them means. Here, 1 \leq m \leq 40 and 1 \leq d_i \leq 10^{12} must hold. Also, m and d_i must all be integers.

w_j is a string of length m that represents the way to bring Joint m of the robot arm to point (X_j, Y_j). The i-th character of w_j should be one of the letters L, R, D and U, representing the mode of Section i.

Sample Input 1

Sample Output 1

2
1 2
RL
UU
DR

In the given way to bring Joint m of the robot arm to each (X_j, Y_j), the positions of the joints will be as follows:

To (X_1, Y_1) = (-1, 0): First, the position of Joint 0 is (x_0, y_0) = (0, 0). As the mode of Section 1 is R, the position of Joint 1 is (x_1, y_1) = (1, 0). Then, as the mode of Section 2 is L, the position of Joint 2 is (x_2, y_2) = (-1, 0).
To (X_2, Y_2) = (0, 3): (x_0, y_0) = (0, 0), (x_1, y_1) = (0, 1), (x_2, y_2) = (0, 3).
To (X_3, Y_3) = (2, -1): (x_0, y_0) = (0, 0), (x_1, y_1) = (0, -1), (x_2, y_2) = (2, -1).

Sample Input 2

Sample Output 2

-1

Sample Input 3

2
1 1
1 1

Sample Output 3

2
1 1
RU
UR

There may be duplicated points among (X_j, Y_j).

Sample Input 4

3
-7 -3
7 3
-3 -7

Sample Output 4

5
3 1 4 1 5
LRDUL
RDULR
DULRD

E - Tr/ee

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : 700 点

問題文

長さ n の文字列 s が与えられます。以下の条件を満たす n 頂点の木は存在するでしょうか？

各頂点には 1,2,..., n の番号が付けられている
各辺には 1,2,..., n-1 の番号が付けられていて、i 番目の辺は頂点 u_i と v_i をつないでいる
s の i 番目の文字が 1 であるとき、木からある辺を 1 つ取り除くことで、サイズ i の連結成分が作れる
s の i 番目の文字が 0 であるとき、木からどのように辺を 1 つ取り除いてもサイズ i の連結成分が作れない

条件を満たす木が存在する場合、1 つ構築してください。

制約

2\leq n \leq 10^5
s は 0 と 1 からなる長さ n の文字列

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

出力

条件を満たす n 頂点の木が存在しない場合、-1 と出力してください。

条件を満たす n 頂点の木が存在する場合、 n-1 行出力してください。 i 行目には u_i,v_i を空白区切りで出力してください。複数の木が条件を満たす場合、どれを出力しても構いません。

入力例 1

出力例 1

-1

n 頂点の木から辺を 1 つ取り除いてサイズ n の連結成分を作ることはできません。

入力例 2

出力例 2

1 2
2 3
3 4

1 番目の辺または 3 番目の辺を取り除くと、サイズ 1 の連結成分とサイズ 3 の連結成分ができます。 2 番目の辺を取り除くと、サイズ 2 の連結成分が 2 つできます。

入力例 3

出力例 3

1 2
1 3
1 4

どの辺を取り除いても、サイズ 1 の連結成分とサイズ 3 の連結成分ができます。

Score : 700 points

Problem Statement

You are given a string s of length n. Does a tree with n vertices that satisfies the following conditions exist?

The vertices are numbered 1,2,..., n.
The edges are numbered 1,2,..., n-1, and Edge i connects Vertex u_i and v_i.
If the i-th character in s is 1, we can have a connected component of size i by removing one edge from the tree.
If the i-th character in s is 0, we cannot have a connected component of size i by removing any one edge from the tree.

If such a tree exists, construct one such tree.

Constraints

2 \leq n \leq 10^5
s is a string of length n consisting of 0 and 1.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

Output

If a tree with n vertices that satisfies the conditions does not exist, print -1.

If a tree with n vertices that satisfies the conditions exist, print n-1 lines. The i-th line should contain u_i and v_i with a space in between. If there are multiple trees that satisfy the conditions, any such tree will be accepted.

Sample Input 1

Sample Output 1

-1

It is impossible to have a connected component of size n after removing one edge from a tree with n vertices.

Sample Input 2

Sample Output 2

1 2
2 3
3 4

If Edge 1 or Edge 3 is removed, we will have a connected component of size 1 and another of size 3. If Edge 2 is removed, we will have two connected components, each of size 2.

Sample Input 3

Sample Output 3

1 2
1 3
1 4

Removing any edge will result in a connected component of size 1 and another of size 3.

F - Distance Sums

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : 900 点

問題文

長さ N の数列 D_1, D_2, ..., D_N が与えられます。 D_i の値はすべて異なります。以下の条件を満たす N 頂点の木は存在するでしょうか？

各頂点には 1,2,..., N の番号が付けられている
各辺には 1,2,..., N-1 の番号が付けられていて、i 番目の辺は頂点 u_i と v_i をつないでいる
各頂点 i に対して、i から他の頂点までの距離の和は D_i である。ただし、各辺の長さは 1 であるものとする。

条件を満たす木が存在する場合、1 つ構築してください。

制約

2 \leq N \leq 100000
1 \leq D_i \leq 10^{12}
D_i はすべて異なる

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる．

N
D_1
D_2
:
D_N

出力

条件を満たす N 頂点の木が存在しない場合、-1 と出力してください。

条件を満たす N 頂点の木が存在する場合、N-1 行出力してください。 i 行目には u_i,v_i を空白区切りで出力してください。複数の木が条件を満たす場合、どれを出力しても構いません。

入力例 1

出力例 1

次のような木が条件を満たします。

入力例 2

2
1
2

出力例 2

-1

入力例 3

出力例 3

Score : 900 points

Problem Statement

You are given a sequence D_1, D_2, ..., D_N of length N. The values of D_i are all distinct. Does a tree with N vertices that satisfies the following conditions exist?

The vertices are numbered 1,2,..., N.
The edges are numbered 1,2,..., N-1, and Edge i connects Vertex u_i and v_i.
For each vertex i, the sum of the distances from i to the other vertices is D_i, assuming that the length of each edge is 1.

If such a tree exists, construct one such tree.

Constraints

2 \leq N \leq 100000
1 \leq D_i \leq 10^{12}
D_i are all distinct.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
D_1
D_2
:
D_N

Output

If a tree with n vertices that satisfies the conditions does not exist, print -1.

Sample Input 1

Sample Output 1

The tree shown below satisfies the conditions.

Sample Input 2

2
1
2

Sample Output 2

-1

Sample Input 3

Sample Output 3