F - XOR Tree Editorial /

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配点 : 1000 点

問題文

N 頂点の木が与えられます。頂点には 0 から N-1 の番号がついています。 辺は 1 から N-1 までの番号がついていて、辺 i は頂点 x_i と y_i をつなぎ、また a_i という値を保持しています。 あなたは以下の操作を何回でもすることが出来ます:

  • ある単純pathとある非負整数 x を選び、そのpathを構成する各辺 e について、 a_e ← a_e ⊕ x (⊕ は xor)と変化させる。

目標はすべての辺 e について a_e = 0 とすることです。 目標を達成するために必要な最小の操作回数を求めてください。

制約

  • 2 ≤ N ≤ 10^5
  • 0 ≤ x_i,y_i ≤ N-1
  • 0 ≤ a_i ≤ 15
  • 与えられるグラフは木
  • 入力は全て整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

N
x_1 y_1 a_1
x_2 y_2 a_2
:
x_{N-1} y_{N-1} a_{N-1}

出力

目標を達成するために必要な操作回数の最小値を出力せよ。

入力例 1

5
0 1 1
0 2 3
0 3 6
3 4 4

出力例 1

3

以下のようにして三回で目標を達成できます。

  • まず、頂点 1,2 を結ぶ path に対して x=1 で操作する
  • 次に、頂点 2,3 を結ぶ path に対して x=2 で操作する
  • 最後に、頂点 0,4 を結ぶ path に対して x=4 で操作する

入力例 2

2
1 0 0

出力例 2

0

Score : 1000 points

Problem Statement

You are given a tree with N vertices. The vertices are numbered 0 through N-1, and the edges are numbered 1 through N-1. Edge i connects Vertex x_i and y_i, and has a value a_i. You can perform the following operation any number of times:

  • Choose a simple path and a non-negative integer x, then for each edge e that belongs to the path, change a_e by executing a_e ← a_e ⊕ x (⊕ denotes XOR).

Your objective is to have a_e = 0 for all edges e. Find the minimum number of operations required to achieve it.

Constraints

  • 2 ≤ N ≤ 10^5
  • 0 ≤ x_i,y_i ≤ N-1
  • 0 ≤ a_i ≤ 15
  • The given graph is a tree.
  • All input values are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x_1 y_1 a_1
x_2 y_2 a_2
:
x_{N-1} y_{N-1} a_{N-1}

Output

Find the minimum number of operations required to achieve the objective.

Sample Input 1

5
0 1 1
0 2 3
0 3 6
3 4 4

Sample Output 1

3

The objective can be achieved in three operations, as follows:

  • First, choose the path connecting Vertex 1, 2, and x = 1.
  • Then, choose the path connecting Vertex 2, 3, and x = 2.
  • Lastly, choose the path connecting Vertex 0, 4, and x = 4.

Sample Input 2

2
1 0 0

Sample Output 2

0