平衡二分探索木を使うことで簡単に解くこともできます。

大文字と小文字の変化については公式解説と同様にして対処します。

反転操作ですが、対応する括弧列の区間について、括弧列の深い順に反転操作を行えばよいです。これは、区間に深さの情報も持たせてソートするか、区間の長さの昇順にソートし、平衡二分探索木を使えばよいです。

（追記：右端の昇順に見ればよいので、区間を見つけるたびに反転して問題ないです。この部分はながたかなさんに教えていただきました。）

計算量は \(\mathrm{O}(|S|\log|S|)\) です。

実装例 (C++):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <class S = char>
struct reversible_vector {
    struct xorshift {
        using u32 = uint32_t;
        u32 x = 123456789, y = 362436069, z = 521288629, w = 88675123;
        xorshift(u32 seed = 0) { z ^= seed; }
        u32 operator()() {
            u32 t = x ^ (x << 11);
            x = y;
            y = z;
            z = w;
            return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8));
        }
    };
    xorshift rnd;
    struct Node {
        S val;
        int pri, cnt;
        bool rev;
        Node *l, *r;
        Node(S val_, int pri_) : val(val_), pri(pri_), cnt(1), rev(false), l(nullptr), r(nullptr) {}
    } *root = nullptr;
    using tree = Node *;
    int count(tree t) { return t ? t->cnt : 0; }
    void proc(tree &t) {
        if(t) t->cnt = 1 + count(t->l) + count(t->r);
    }
    void eval(tree &t) {
        if(t and t->rev) {
            t->rev = false;
            std::swap(t->l, t->r);
            if(t->l) t->l->rev ^= 1;
            if(t->r) t->r->rev ^= 1;
        }
        proc(t);
    }
    void split(tree t, int key, tree &l, tree &r) {
        if(!t) {
            l = r = nullptr;
            return;
        }
        eval(t);
        int imp_key = count(t->l) + 1;
        if(key < imp_key) {
            split(t->l, key, l, t->l), r = t;
        } else {
            split(t->r, key - imp_key, t->r, r), l = t;
        }
        proc(t);
    }
    void merge(tree &t, tree &l, tree &r) {
        eval(l);
        eval(r);
        if(!l or !r)
            t = l ? l : r;
        else if(l->pri > r->pri)
            merge(l->r, l->r, r), t = l;
        else
            merge(r->l, l, r->l), t = r;
        proc(t);
    }
    void insert(tree &t, int key, tree item) {
        tree t1, t2;
        split(t, key, t1, t2);
        merge(t1, t1, item);
        merge(t, t1, t2);
    }
    void erase(tree &t, int key) {
        tree t1, t2, t3;
        split(t, key + 1, t1, t2);
        split(t1, key, t1, t3);
        merge(t, t1, t2);
    }
    void reverse(tree t, int l, int r) {
        if(l > r) return;
        tree t1, t2, t3;
        split(t, l, t1, t2);
        split(t2, r - l, t2, t3);
        t2->rev ^= 1;
        merge(t2, t2, t3);
        merge(t, t1, t2);
    }
    void rotate(tree t, int l, int m, int r) {
        reverse(t, l, r);
        reverse(t, l, l + r - m);
        reverse(t, l + r - m, r);
    }

   public:
    reversible_vector() {}
    reversible_vector(std::vector<S> as) {
        std::reverse(as.begin(), as.end());
        for(S &a : as) { insert(0, a); }
    }
    reversible_vector(std::string as) {
        std::reverse(as.begin(), as.end());
        for(S &a : as) { insert(0, a); }
    }
    int size() { return count(root); }
    void insert(int pos, S x) {
        insert(root, pos, new Node(x, rnd()));
    }
    void erase(int pos) {
        erase(root, pos);
    }
    void reverse(int l, int r) {
        reverse(root, l, r);
    }
    void rotate(int l, int m, int r) {
        rotate(root, l, m, r);
    }
    void push_back(S x) {
        insert(size(), x);
    }
    void push_front(S x) {
        insert(0, x);
    }
    void pop_back() {
        assert(size());
        erase(size() - 1);
    }
    void pop_front() {
        assert(size());
        erase(0);
    }
    S &operator[](int pos) {
        tree t1, t2, t3;
        split(root, pos + 1, t1, t2);
        split(t1, pos, t1, t3);
        S &ret = t3->val;
        merge(t1, t1, t3);
        merge(root, t1, t2);
        return ret;
    }
};
char flip(char c) {
    if(c >= 'a' and c <= 'z')
        return c - 'a' + 'A';
    else
        return c - 'A' + 'a';
}
int main() {
    string s;
    cin >> s;
    int n = s.size();
    stack<int> st;
    bool odd = 0;
    vector<pair<int, int>> lr;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(s[i] == '(') {
            st.push(i);
            odd ^= 1;
        } else if(s[i] == ')') {
            lr.emplace_back(st.top(), i + 1);
            st.pop();
            odd ^= 1;
        } else if(odd) {
            s[i] = flip(s[i]);
        }
    }
    reversible_vector vec(s);
    sort(lr.begin(), lr.end(), [](pair<int, int> x, pair<int, int> y) {
        return x.second - x.first < y.second - y.first;
    });
    for(auto [l, r] : lr) vec.reverse(l, r);
    string ans;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(vec[i] != '(' and vec[i] != ')') ans.push_back(vec[i]);
    cout << ans << endl;
}