頂点 \(i\) の次数が \(d_i\) であるような木の個数は、(自明な必要条件を満たすならば) \(\displaystyle \frac{(N-2)!}{\prod_i (d_i-1)!}\) であることが知られています。

よって求めるものは \((N-2)!\sum_d\prod_i \frac{1}{(d_i-1)!}\) であり、これは積の和なので、公式解説同様に \(f=\sum_{s\in S}\frac{1}{(s-1)!}X^s\) として \((N-2)![X^{2N-2}]f^N\) になります。