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Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 256 MB
配点 : 2000 点
問題文
あなたは N + M 問のマルバツクイズが出題されるクイズゲームに参加します。
出題される問題のうち、N 問の正解がマル、M 問の正解がバツであることは事前に知らされていますが、問題は無作為な順序で出題されます。
あなたにはどの問題の正解も見当がつきません。 問題には一問ずつ解答していき、解答するごとにその問題の正解をすぐに知ることができます。
ここで、あなたが問題に正解する回数の期待値を最大化する戦略をとったと仮定します。
この期待値を P/Q（既約分数）とします。また、M = 998244353 とします。このとき、0 以上 M - 1 以下の整数 R がただ一つ存在して P = Q \times R mod M となることが証明でき、その値は P \times Q^{-1} mod M と等しくなります。ここで、Q^{-1} は Q のモジュラ逆数です。R を求めてください。
制約
- 1 \leq N, M \leq 500,000
- N, M はともに整数である。
部分点
- N = M および 1 \leq N, M \leq 10^5 を満たすデータセットに正解すると、1500 点が与えられる。
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
N M
出力
P/Q を最適な戦略に従った場合の問題に正解する回数の期待値を表す既約分数とする。P \times Q^{-1} mod 998244353 を出力せよ。
入力例 1
1 1
出力例 1
499122178
問題が二問あります。 一問目には無作為に答えてよく、正解する確率は 50% です。 そして、二問目の答えは一問目と異なることが分かっているため、二問目に正解する確率は 100% です。
以上から、正解数の期待値は 3 / 2 です。 したがって、P = 3, Q = 2, Q^{-1} = 499122177 (mod 998244353), P \times Q^{-1} = 499122178 (mod 998244353) となります。
入力例 2
2 2
出力例 2
831870297
正解数の期待値は 17 / 6 です。
入力例 3
3 4
出力例 3
770074220
正解数の期待値は 169 / 35 です。
入力例 4
10 10
出力例 4
208827570
入力例 5
42 23
出力例 5
362936761
Score : 2000 points
Problem Statement
You are participating in a quiz with N + M questions and Yes/No answers.
It's known in advance that there are N questions with answer Yes and M questions with answer No, but the questions are given to you in random order.
You have no idea about correct answers to any of the questions. You answer questions one by one, and for each question you answer, you get to know the correct answer immediately after answering.
Suppose you follow a strategy maximizing the expected number of correct answers you give.
Let this expected number be P/Q, an irreducible fraction. Let M = 998244353. It can be proven that a unique integer R between 0 and M - 1 exists such that P = Q \times R modulo M, and it is equal to P \times Q^{-1} modulo M, where Q^{-1} is the modular inverse of Q. Find R.
Constraints
- 1 \leq N, M \leq 500,000
- Both N and M are integers.
Partial Score
- 1500 points will be awarded for passing the testset satisfying N = M and 1 \leq N, M \leq 10^5.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N M
Output
Let P/Q be the expected number of correct answers you give if you follow an optimal strategy, represented as an irreducible fraction. Print P \times Q^{-1} modulo 998244353.
Sample Input 1
1 1
Sample Output 1
499122178
There are two questions. You may answer randomly to the first question, and you'll succeed with 50% probability. Then, since you know the second answer is different from the first one, you'll succeed with 100% probability.
The expected number of your correct answers is 3 / 2. Thus, P = 3, Q = 2, Q^{-1} = 499122177 (modulo 998244353), and P \times Q^{-1} = 499122178 (again, modulo 998244353).
Sample Input 2
2 2
Sample Output 2
831870297
The expected number of your correct answers is 17 / 6.
Sample Input 3
3 4
Sample Output 3
770074220
The expected number of your correct answers is 169 / 35.
Sample Input 4
10 10
Sample Output 4
208827570
Sample Input 5
42 23
Sample Output 5
362936761